Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел (стр. 2 из 2)
Доказательство. Правая часть
левая часть. 
, 
.Доказательство. Левая часть
. 
, .Если
, то 
.Доказательство. Вычислим произведение
то есть 
обратный элемент к 
. 
, где 
.Доказательство. Левая часть равна
равна правой части. 
- коммутативная группа, которая называется мультипликативной группой не равных 0 элементов.Доказательство. Следует из свойств поля:
1.
, так как поле.2.
3.
4.
, так как полеТак как поле – это кольцо определённого вида, то под гомоморфизмами полей понимаются гомоморфизмы полей. Аналогично для изоморфизмов.
Определение. Подполем поля
называется подкольцом с единицей поля 
, в котором всякий ненулевой элемент обратим. Всякое подполе является полем. Подполе поля , отличное от называется собственным полем.Определение. Поле называется простым, если оно не имеет собственных подполей.
Пример. Рассмотрим поле действительных чисел, то есть поле
. Для того, чтобы найти подполе надо найти подмножества замкнутые относительно операции 
и 
подмножеству. Например, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел. Алгебраическая система
называется системой рациональных чисел, если:Алгебра
- это поле с единицей 1.Множество
замкнуто относительно операции и 
Аксиома минимальности, если
такое, что:а)
б)
, тогда 
.Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001