Смекни!
smekni.com

Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел (стр. 2 из 2)

Доказательство. Правая часть

левая часть.

,
.

Доказательство. Левая часть

.

,
.

Если

, то
.

Доказательство. Вычислим произведение

то есть
обратный элемент к
.

, где
.

Доказательство. Левая часть равна

равна правой части.

- коммутативная группа, которая называется мультипликативной группой не равных 0 элементов.

Доказательство. Следует из свойств поля:

1.

, так как поле.

2.

3.

4.

, так как поле

Так как поле – это кольцо определённого вида, то под гомоморфизмами полей понимаются гомоморфизмы полей. Аналогично для изоморфизмов.

п.3. Подполе.

Определение. Подполем поля

называется подкольцом с единицей поля
, в котором всякий ненулевой элемент обратим. Всякое подполе является полем. Подполе поля
, отличное от
называется собственным полем.

Определение. Поле называется простым, если оно не имеет собственных подполей.

Пример. Рассмотрим поле действительных чисел, то есть поле

. Для того, чтобы найти подполе надо найти подмножества замкнутые относительно операции
и
подмножеству. Например, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел.

п.4. Поле рациональных чисел.

Алгебраическая система

называется системой рациональных чисел, если:

Алгебра

- это поле с единицей 1.

Множество

замкнуто относительно операции
и

Аксиома минимальности, если

такое, что:

а)

б)

, тогда
.

Список литературы

Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002

В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001