Теорія споживання (стр. 2 из 3)

Будь-які два вектори

споживач може порівнювати та обирати з них. Цей вибір залежить від бюджету споживача, цін на товари і його смаку. Отже, вибір характеризується відношенням переваги, що записується знаком і читається як «переважніший або рівноцінний за». Запис , де й є наборами товарів з означає, що споживач віддає перевагу набору по відношенню до набора . виконується тільки, якщо і відношення не є справедливим.

Запис

означає, що набори товарів й для споживача рівнозначні (еквівалентні, байдужні).

Розглянемо аксіоми відношення переваги:

1. Транзитивність: якщо є три набори

, й і відомо, що , то .

2. Ненасиченість: якщо

й такі, що і , то . Ця аксіома стверджує, що точки насичення споживача не існує, більший набір товарів завжди є переважнішим за менший.

3. Опуклість: для будь-яких

й таких, що і маємо або для всіх . Ця вимога забезпечує строгу опуклість множини комбінацій наборів, не менш переважніших за даний.

3. Функція корисності споживання

Нехай існує безперервна дійсна функція

, визначена на , для якої виконуються співвідношення:

, тільки якщо ;

, тільки якщо .

Функцію

називають функцією корисності або порядковою функцією корисності.

Дамо геометричну інтерпретацію функції корисності. Для цього розглянемо будь-який промінь у просторі товарів, що проходить через початок координат. Приймемо як корисність будь-якого товару відстань від початку до точки на промені, що належить тій самій множині байдужності, що й розглянутий набір. Як правило, якщо така функція корисності існує, то вона не єдина.

Наприклад, за

можна взяти будь-яку монотонну чітко зростаючу функцію. Якщо – функція корисності, то також буде функцією корисності, де – довільна монотонно зростаюча функція, тобто .

На рис. 1 кожній точці площини, що відноситься до різних комбінацій наборів товарів

і , відповідають точки поверхні , які відображають рівні корисності цих товарів.

Рисунок 1

Для кожного товарного набору

можна вказати множину таких наборів, яка за перевагою еквівалентна даному. Ця множина називається кривою байдужності, що проходить через . Кожній кривій байдужності можна поставити у відповідність певний рівень корисності, оскільки корисність будь-яких двох наборів, що знаходяться на одній і тій самій кривій, однакова. Математичним аналогом кривої байдужності є лінія рівня.

Вважатимемо

диференційованою, тоді аксіома ненасичення вимагає, щоб всі перші часткові похідні функції корисності, які звуться граничними корисностями, були додатними

.

Відповідно до аксіоми 3 (опуклості множини простору товарів) вимагатимемо, щоб функція

була строго увігнутою функцією й отже, має бути двічі диференційованою і мати безперервні другі часткові похідні, тобто матриця Гессе, що складається з других часткових похідних, повинна бути вiд’ємно визначеною

.

Зокрема

, означає, що корисність товару зменшується в міру того, як продукт споживається. Це допущення одержало назву закону Госена.

З властивості опуклості відношення переваги випливає, що криві байдужності опуклі відносно початку координат.

Найважливішою характеристикою кривої байдужності є її нахил. Абсолютне значення нахилу на різних відрізках кривої виражає норму заміни благ. Тому криву байдужності можна назвати кривою взаємозамінності благ.

Розглянемо рис. 2. На відрізку АВ норма заміни блага 1 благом 2 за визначенням дорівнює

, а на відрізку CD –

. Норма заміни одного блага іншим безпосередньо пов'язана з їх граничними корисностями. Під час руху по кривій байдужності вправо вниз на здобуваємо приблизно одиниць корисності зі збільшенням споживання блага 1 й одночасно втрачаємо одиниць корисності зі зменшенням споживання блага 2. Оскільки виграш і втрата взаємно компенсуються (ми перебуваємо на одній і тій самий кривій байдужності), то при досить малих і можна записати .

Рисунок 2

Розділивши отриману рівність на

, знайдемо