Контрольна робота з теми:
ТЕОРІЯ СПОЖИВАННЯ
Вступ
Математичні моделі й методи, що досліджуються в даній роботі, є необхідними для вивчення споживчого поводження на ринку готової продукції, переваг індивідуального споживача, корисності й класифікації товарів, еластичності й інших властивостей попиту.
1. Математичний вступ: опуклі множини
Множину

називають опуклою, якщо разом з будь-якими двома своїми точками

,

,

вона містить і всі точки вигляду

, де

.
Щоб пояснити геометричний зміст поняття опуклої множини, нагадаємо спосіб задання відрізка

між двома точками

,

в
-вимірному просторі. Параметричне рівняння прямої, що проходить через точки

,

, має вигляд

, де

– напрямний вектор прямої. При

, при

. Коли

змінюється в межах від 0 до 1, точка

пробігає весь відрізок між точками

і

.
З геометричної точки зору множина

є опуклою лише тоді, коли разом з будь-якими двома своїми точками ця множина містить і відрізок, який їх поєднує.
Для двовимірного простору прикладом опуклої множини є опуклий багатогранник. У просторі при

опуклими множинами можуть бути куля, еліпсоїд, еліптичний параболоїд, циліндр і тощо.
Опуклу множину, всі границі якої лінійні, називають опуклою багатогранною множиною (опуклим багатогранником).
Розглянемо властивості опуклих множин:
1. Якщо

– точки опуклої множини

, то точка

, де

,

також належить
, де

називають опуклою комбінацією точок

. Це окремий випадок лінійної комбінації. Дану властивість приймаємо без доказу.
2. Множина опуклих комбінацій будь-якої заданої кількості комбінацій з

є опуклою множиною. Доказ цієї властивості не наводимо.
3. Якщо

і

– опуклі множини, а точки

і

такі, що

й

, то весь відрізок знаходиться в обох множинах

і

, тобто перетинання опуклих множин є опуклим.
Розглянемо доказ. Нехай

, де

і

– опуклі множини. Розглянемо дві довільні точки

і

множини

. Оскільки

, то

. З опуклості множини

випливає, що весь відрізок

належить

. Так само,

. Але тоді

. Доказ завершено.
4. Сума двох опуклих множин опукла.
Розглянемо доказ. Нехай

, де

. Тоді в

і

знайдуться такі елементи, що

,

,

,

. Припустимо тепер

– довільне число,

. Тоді

5. Основною властивістю, яка характеризує опуклі множини, є так звана властивість віддільності. Для пояснення цієї властивості розглянемо на площині замкнуту опуклу множину

і точку

. Тоді знайдеться така пряма

, що множина

і точка

знаходяться по різні сторони від цієї прямої, тобто для будь-якої точки

виконується нерівність

, у той час, як

.
2. Відношення переваги
Одним з основних елементів економічної теорії є споживач або група споживачів (домашнє господарство, родина). У споживача виникає задача раціонального ведення господарства (розподілу особистого бюджету). Отже, в даній задачі споживачеві необхідно з'ясувати, яку кількість кожного наявного товару або послуг він повинен придбати при заданих цінах

і відомому доході
. Будемо аналізувати поводження споживача й у підсумку сформулюємо оптимізаційну математичну модель поводження споживача на ринку товарів і послуг.
Під товаром або послугою розумітимемо деяке благо, що надійшло в продаж у певний час в певному місці. Припустимо, існує кінцева кількість наявних товарів

, кількість кожного з них характеризується набором товарів

, де

– кількість

-го товару (

), придбана споживачем.
Простором товарів назвемо невід’ємний ортант

-вимірного простору, кожна точка

є певним набором товарів. Нехай

– множина, на якій визначені інтереси споживача.

–множина всіх уявних наборів товарів, доступних споживачеві й придатних для нього.