Производная дифференциал и интеграл (стр. 2 из 5)
.Если функция
имеет обратную функцию 
и в точке 
производная 
, то обратная функция 
дифференцируема в точке 
и 
или 
.Если функция
дифференцируема в точке 
и 
, то сложная функция 
также дифференцируема в и верна следующая формула 
или 
.Пример.
Найти производную функции
Решение:
3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков)
Функция
, определенная во всех точках промежутка 
, называется возрастающей (убывающей) в этом промежутке, если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует большее (меньшее) значение функции, т. е,если
то при 
– возрастающая, 
– убывающая.Из данного определения вытекает, что для возрастающей функции приращения аргумента и функции имеет один и тот же знак, в силу чего их отношение положительно:
. Для убывающей функции эти приращения имеют разные знаки, в силу чего 
. Те значения аргумента, при которых функция достигает своих наибольших и наименьших по сравнению с близкими значений, называются точками максимума и минимума (точками экстремума).Точка
называется точкой максимума (минимума) непрерывной функции 
, а значение 
называется максимумом (минимумом) этой функции, если существует некоторая окрестность точки такая, что значение функции в любой точке этой окрестности будет меньше (больше), чем ее значение в самой точке , т. е. меньше (больше), чем максимум (минимум) (рис. 1). 
у max уmin
f(х0) f(х0)
О х0–d х0 х0+d х О х0–d х0 х0+d х
| точка максимума | точка минимума |
Рис. 1
Из определений точек экстремума следует, что вне d-окрестности точки экстремума поведение функции произвольно, т. е. понятия максимума и минимума функции носят характер локальных (местных), а не абсолютных понятий.
Чтобы установить признаки возрастания и убывания и признаки экстремума функций, рассмотрим ряд важных теорем математического анализа, на которые опираются все дальнейшие исследования функций.
Рекомендуется исследование функций проводить в определенной последовательности.
1. Найти область определения функции; точки разрыва и их характер; вертикальные асимптоты графика.
2. Определить возможный тип симметрии функции (четность, нечетность функции); точки пересечения графика функции с осями координат, т. е. решить уравнения
и 
.3. Найти наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции.
4. Использовать первую производную для определения области возрастания и убывания и экстремумов функции.
5. Использовать вторую производную для определения участков выпуклости и вогнутости графика и точек перегиба.
6. Построить график функции с учетом проведенного исследования.
Пример. Провести полное исследование функции
Решение:
Проведем полное исследование функции, используя следующую схему:
- найти область определения функции;
- исследовать на четность и нечетность функцию;
- найти точки разрыва функции;
- найти асимптоты (вертикальные, наклонные и горизонтальные) графика функции;
- найти точки пересечения графика функции с координатными осями;
- исследовать функцию на монотонность (указав интервалы возрастания и убывания) и экстремум;
- определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;
- при необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках;
- построить схематично график функции, используя результаты полученные в пунктах 1-8.
Областью определения функции является множество
.Так как
и 
, то функция не является ни четной, ни нечетной.Функция претерпевает разрыв в точке
.Найдем асимптоты графиков функции:
а). Прямая
является вертикальной асимптотой, т.к. 
, 
б). Находим наклонные и горизонтальные асимптоты (горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот)
,где
; 
Таким образом, прямая
является единственной наклонной асимптотой и на 
, и на 
.Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
а) С осью
: 
, 
, т.е. точка пересечения с осью - 
.б) С осью
: 
, 
, т.е. точка пересечения с осью 
- 
.6. Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум. Для этого найдем производную функции.
Из
получаем 
, откуда 
, 
.