Смекни!
smekni.com

Производная дифференциал и интеграл (стр. 2 из 5)

.

Если функция

имеет обратную функцию
и в точке
производная
, то обратная функция
дифференцируема в точке
и
или
.

Если функция

дифференцируема в точке
и
, то сложная функция
также дифференцируема в
и верна следующая формула

или
.

Пример.

Найти производную функции

Решение:

3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков)

Функция

, определенная во всех точках промежутка
, называется возрастающей (убывающей) в этом промежутке, если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует большее (меньшее) значение функции, т. е,

если

то при

– возрастающая,
– убывающая.

Из данного определения вытекает, что для возрастающей функции приращения аргумента и функции имеет один и тот же знак, в силу чего их отношение положительно:

. Для убывающей функции эти приращения имеют разные знаки, в силу чего
. Те значения аргумента, при которых функция достигает своих наибольших и наименьших по сравнению с близкими значений, называются точками максимума и минимума (точками экстремума).

Точка

называется точкой максимума (минимума) непрерывной функции
, а значение
называется максимумом (минимумом) этой функции, если существует некоторая окрестность точки
такая, что значение функции в любой точке этой окрестности будет меньше (больше), чем ее значение в самой точке
, т. е. меньше (больше), чем максимум (минимум)
(рис. 1).

у max у

min

f(х0) f(х0)

О х0d х0 х0+d х О х0d х0 х0+d х

точка максимума точка минимума

Рис. 1

Из определений точек экстремума следует, что вне d-окрестности точки экстремума поведение функции произвольно, т. е. понятия максимума и минимума функции носят характер локальных (местных), а не абсолютных понятий.

Чтобы установить признаки возрастания и убывания и признаки экстремума функций, рассмотрим ряд важных теорем математического анализа, на которые опираются все дальнейшие исследования функций.

Рекомендуется исследование функций проводить в определенной последовательности.

1. Найти область определения функции; точки разрыва и их характер; вертикальные асимптоты графика.

2. Определить возможный тип симметрии функции (четность, нечетность функции); точки пересечения графика функции с осями координат, т. е. решить уравнения

и
.

3. Найти наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции.

4. Использовать первую производную для определения области возрастания и убывания и экстремумов функции.

5. Использовать вторую производную для определения участков выпуклости и вогнутости графика и точек перегиба.

6. Построить график функции с учетом проведенного исследования.

Пример. Провести полное исследование функции

Решение:

Проведем полное исследование функции, используя следующую схему:

  1. найти область определения функции;
  2. исследовать на четность и нечетность функцию;
  3. найти точки разрыва функции;
  4. найти асимптоты (вертикальные, наклонные и горизонтальные) графика функции;
  5. найти точки пересечения графика функции с координатными осями;
  6. исследовать функцию на монотонность (указав интервалы возрастания и убывания) и экстремум;
  7. определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;
  8. при необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках;
  9. построить схематично график функции, используя результаты полученные в пунктах 1-8.

Областью определения функции является множество

.

Так как

и
, то функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция претерпевает разрыв в точке

.

Найдем асимптоты графиков функции:

а). Прямая

является вертикальной асимптотой, т.к.

,

б). Находим наклонные и горизонтальные асимптоты (горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот)

,

где

;

Таким образом, прямая

является единственной наклонной асимптотой и на
, и на
.

Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

а) С осью

:
,
, т.е. точка пересечения с осью
-
.

б) С осью

:
,
, т.е. точка пересечения с осью
-
.

6. Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум. Для этого найдем производную функции.

Из

получаем
, откуда
,
.