+ _ +
______________________________________ x
-3 11
Так как на интервалах

и

производная положительна, т.е.

, то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале

производная отрицательна, т.е.

, то на указанном интервале график функции убывает.
Так как при переходе через точки

,

производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то

,

- точки локального экстремума. Причем

точка локального минимума:

(так как при переходе через нее производная меняет знак с "+" на "-");

- точка локального максимума:

(так как при переходе через нее производная меняет знак с "-" на "+").
7. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную функции.

Очевидно, что в интервале

вторая производная меньше нуля, т.е.

, и в этом интервале график функции является выпуклым вверх. В интервале

вторая производная больше нуля, т.е.

, и в этом интервале график функции является выпуклым вниз (вогнутым).
Несмотря на то, что при переходе через точку

вторая производная меняет знак, она не является точкой перегиба, так как

не входит в область определения функции, т.е. функция в ней не определена. Таким образом, точек перегиба у графика функции нет.
Из

получаем

, откуда

,

.
+ _ +
______________________________________ x
-3 11
Так как на интервалах

и

производная положительна, т.е.

, то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале

производная отрицательна, т.е.

, то на указанном интервале график функции убывает.
Так как при переходе через точки

,

производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то

,

- точки локального экстремума. Причем

точка локального минимума:

(так как при переходе через нее производная меняет знак с "+" на "-");

- точка локального максимума:

(так как при переходе через нее производная меняет знак с "-" на "+").
Часто возникает задача, обратная той, которая решалась в дифференциальном исчислении, а именно: дана функция

, найти функцию

, такую, что

.
Функция

называется
первообразной для данной функции

на некотором промежутке
Х, если для любого

выполняется равенство

.
Например, пусть

, тогда за первообразную можно взять

, поскольку

.
В основе интегрального исчисления лежит теорема об общем виде первообразной: если

– первообразная для функции

на промежутке
Х, то все первообразные для функции

имеют вид

, где
С – произвольная постоянная.
Выражение вида

описывает все первообразные для функции

. Действительно, для любой постоянной
С 
.
Пусть наряду с данной первообразной

функция

– также первообразная для

. Тогда должны выполняться равенства

,
откуда

. Следовательно, разность этих первообразных будет тождественно равна константе

или

.
Действие нахождения первообразной называется интегрированием функции.
Доказанная теорема позволяет ввести основное понятие интегрального исчисления: если

– первообразная для

, то совокупность функций

, где
С – произвольная постоянная, называется
неопределенным интегралом от функции

, который обозначается следующим образом

.
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство плоских кривых

, называемых
интегральными.
Для того, чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, надо взять производную от результата и убедиться, что получена подынтегральная функция

. Как всякая обратная операция, интегрирование – более сложное действие, чем дифференцирование.
Приведем основные свойства неопределенного интеграла:
1. производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

;
2. неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых функций

;
3. постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла

.
Значения интегралов от основных элементарных функций получаются из формул дифференцирования этих функций. Приведем таблицу основных интегралов: