+ _ +
______________________________________ x
-3 11
Так как на интервалах
и производная положительна, т.е. , то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале производная отрицательна, т.е. , то на указанном интервале график функции убывает.Так как при переходе через точки
, производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то , - точки локального экстремума. Причем точка локального минимума: (так как при переходе через нее производная меняет знак с "+" на "-"); - точка локального максимума: (так как при переходе через нее производная меняет знак с "-" на "+").7. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную функции.
Очевидно, что в интервале
вторая производная меньше нуля, т.е. , и в этом интервале график функции является выпуклым вверх. В интервале вторая производная больше нуля, т.е. , и в этом интервале график функции является выпуклым вниз (вогнутым).Несмотря на то, что при переходе через точку
вторая производная меняет знак, она не является точкой перегиба, так как не входит в область определения функции, т.е. функция в ней не определена. Таким образом, точек перегиба у графика функции нет.Из
получаем , откуда , .+ _ +
______________________________________ x
-3 11
Так как на интервалах
и производная положительна, т.е. , то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале производная отрицательна, т.е. , то на указанном интервале график функции убывает.Так как при переходе через точки
, производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то , - точки локального экстремума. Причем точка локального минимума: (так как при переходе через нее производная меняет знак с "+" на "-"); - точка локального максимума: (так как при переходе через нее производная меняет знак с "-" на "+").Часто возникает задача, обратная той, которая решалась в дифференциальном исчислении, а именно: дана функция
, найти функцию , такую, что .Функция
называется первообразной для данной функции на некотором промежутке Х, если для любого выполняется равенство .Например, пусть
, тогда за первообразную можно взять , поскольку .В основе интегрального исчисления лежит теорема об общем виде первообразной: если
– первообразная для функции на промежутке Х, то все первообразные для функции имеют вид , где С – произвольная постоянная.Выражение вида
описывает все первообразные для функции . Действительно, для любой постоянной С .Пусть наряду с данной первообразной
функция – также первообразная для . Тогда должны выполняться равенства ,откуда
. Следовательно, разность этих первообразных будет тождественно равна константе или .Действие нахождения первообразной называется интегрированием функции.
Доказанная теорема позволяет ввести основное понятие интегрального исчисления: если
– первообразная для , то совокупность функций , где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции , который обозначается следующим образом .Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство плоских кривых
, называемых интегральными.Для того, чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, надо взять производную от результата и убедиться, что получена подынтегральная функция
. Как всякая обратная операция, интегрирование – более сложное действие, чем дифференцирование.Приведем основные свойства неопределенного интеграла:
1. производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции
;2. неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых функций
;3. постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла
.Значения интегралов от основных элементарных функций получаются из формул дифференцирования этих функций. Приведем таблицу основных интегралов: