Смекни!
smekni.com

Производная дифференциал и интеграл (стр. 3 из 5)

+ _ +

______________________________________ x

-3 11

Так как на интервалах

и
производная положительна, т.е.
, то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале
производная отрицательна, т.е.
, то на указанном интервале график функции убывает.

Так как при переходе через точки

,
производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то
,
- точки локального экстремума. Причем
точка локального минимума:
(так как при переходе через нее производная меняет знак с "+" на "-");
- точка локального максимума:
(так как при переходе через нее производная меняет знак с "-" на "+").

7. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную функции.

Очевидно, что в интервале

вторая производная меньше нуля, т.е.
, и в этом интервале график функции является выпуклым вверх. В интервале
вторая производная больше нуля, т.е.
, и в этом интервале график функции является выпуклым вниз (вогнутым).

Несмотря на то, что при переходе через точку

вторая производная меняет знак, она не является точкой перегиба, так как
не входит в область определения функции, т.е. функция в ней не определена. Таким образом, точек перегиба у графика функции нет.

Из

получаем
, откуда
,
.

+ _ +

______________________________________ x

-3 11

Так как на интервалах

и
производная положительна, т.е.
, то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале
производная отрицательна, т.е.
, то на указанном интервале график функции убывает.

Так как при переходе через точки

,
производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то
,
- точки локального экстремума. Причем
точка локального минимума:
(так как при переходе через нее производная меняет знак с "+" на "-");
- точка локального максимума:
(так как при переходе через нее производная меняет знак с "-" на "+").

4. Неопределенный интеграл

Часто возникает задача, обратная той, которая решалась в дифференциальном исчислении, а именно: дана функция

, найти функцию
, такую, что
.

Функция

называется первообразной для данной функции
на некотором промежутке Х, если для любого
выполняется равенство

.

Например, пусть

, тогда за первообразную можно взять
, поскольку
.

В основе интегрального исчисления лежит теорема об общем виде первообразной: если

– первообразная для функции
на промежутке Х, то все первообразные для функции
имеют вид
, где С – произвольная постоянная.

Выражение вида

описывает все первообразные для функции
. Действительно, для любой постоянной С

.

Пусть наряду с данной первообразной

функция
– также первообразная для
. Тогда должны выполняться равенства

,

откуда

. Следовательно, разность этих первообразных будет тождественно равна константе
или
.

Действие нахождения первообразной называется интегрированием функции.

Доказанная теорема позволяет ввести основное понятие интегрального исчисления: если

– первообразная для
, то совокупность функций
, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции
, который обозначается следующим образом

.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство плоских кривых

, называемых интегральными.

Для того, чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, надо взять производную от результата и убедиться, что получена подынтегральная функция

. Как всякая обратная операция, интегрирование – более сложное действие, чем дифференцирование.

Приведем основные свойства неопределенного интеграла:

1. производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

;

2. неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых функций

;

3. постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла

.

Значения интегралов от основных элементарных функций получаются из формул дифференцирования этих функций. Приведем таблицу основных интегралов: