Производная дифференциал и интеграл (стр. 5 из 5)
6. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений
До сих пор рассматривались функции
одной переменной х. В случае зависимости параметров какого-то процесса или явления от многих факторов вводится понятие функции нескольких переменных.Пусть каждому набору значений n переменных величин
из множества M , называемых независимыми переменными, по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число z, называемое зависимой переменной. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных 
.  z  y O x M Рис. 3 | Функция одной переменной  изображается на плоскости в виде линии. В случае двух переменных область определения M функции  представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Оxy и тогда графиком функции является некоторая поверхность (рис. 3). |
Приведем примеры функций нескольких переменных.
1. Функция вида
, где 
– постоянные числа, называется линейной или гиперплоскостью 
-мерном пространстве.2. Функция вида
, где 
– постоянные числа, называется квадратичной формой от переменных 
.При рассмотрении функций в n-мерном пространстве широко используется геометрический язык, хотя буквальное понимание геометрических терминов возможно только при п = 2 и п = 3.
Далее для наглядности будем рассматривать функции двух переменных (
), хотя практически все понятия и теоремы, сформулированные для 
, переносятся на случай 
. Основные понятия математического анализа, введенные для функции одной переменной, переносятся на случай двух переменных. Так, число А называется пределом функции 
в точке 
, если для любого числа 
можно найти число 
такое, что для всех точек 
из d-окрестности точки М выполняется неравенство 
. Для обозначения предела функции в точке используется символика 
.Окрестностью точки
называется круг, содержащий точку М.В случае функции двух переменных аргумент может стремиться к предельной точке по различным направлениям на плоскости, поэтому следует говорить о пределах функции в точке вдоль определенных линий.
Функция
называется непрерывной в точке 
, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т. е. 
. Геометрический смысл непрерывности функции при очевиден: график функции 
представляет собой в точке непрерывности 
сплошную поверхность в некоторой окрестности этой точки.Пример. Найти экстремум функции двух переменных z = x2 + y2, x Î [-20, 20], y Î [-10, 10].
Решение.
Необходимое условие экстремума
= 2х = 0, 
= 2у = 0, откуда координаты стационарной точки (хст, уст) = (0, 0).Вторые производные А =
= 2; В = 
= 0; С = 
= 2. Так как AC - B2 = 4 > 0, то в точке (0, 0) — локальный минимум.Значение функции в точке минимума z (0, 0) = 0.
Литература:
- Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: Джангар, 2000. - 864 с.
- Гордон В.А., Шмаркова Л.И. Краткий курс математики / Учебное пособие. – Орёл: ОрёлГТУ, 2000. – 96 с.
- Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: М.: Наука, 1972.