Производная дифференциал и интеграл (стр. 1 из 5)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по высшей математике
Содержание:
1. Пределы последовательностей и функций. 2
2. Производная и дифференциал. 3
3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков) 4
6. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений. 11
1. Пределы последовательностей и функций
Числовой последовательностью
называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение любого члена последовательности, зная его порядковый номер п; для этого достаточно знать выражение общего или п-го члена последовательности в виде функции его номера: 
.В основе всех положений математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности
, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такой номер 
, зависящий от выбранного e, начиная с которого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на e, т. е. 
при 
.Если последовательность
имеет предел А, то она называется сходящейся (к числу А) и этот факт записывают следующим образом: 
.Пусть функция
определена в некоторой окрестности точки 
. Выберем в некоторой окрестности этой точки какую-нибудь последовательность 
сходящуюся к точке : 
. Значения функции в выбранных точках образуют последовательность 
, и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.Число А называется пределом функции
в точке , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента, отличных от , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А, т. е. 
.Возможно иное определение предела функции в точке: число А называется пределом функции при
, если для всякого положительного числа e можно указать другое положительное число d (зависящее от выбора e) такое, что абсолютная величина разности 
будет меньше e, когда абсолютная величина разности 
будет меньше 
, но больше нуля , если 
при 
.Таким образом, первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением на «языке последовательностей». Второе определение носит название «на языке
».Кроме понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности: число А называется пределом функции при
, если для любого числа 
существует такое число d, что при всех 
справедливо неравенство : 
.Теоремы о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке
, приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.Примеры
Найти предел функции
Решение: Имеем неопределенность вида
. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель 
, который при 
не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта. 
2. Производная и дифференциал
Пусть функция
определена в некоторой окрестности точки .Производной функции
в точке называется предел отношения 
, когда 
(если этот предел существует). Производная функции в точке обозначается 
.Например, выражение
следует понимать как производную функции 
в точке 
.Определение производной можно записать в виде формулы
. (4.1)Предел (4.1) может не существовать. В этом случае говорят, что функция
не имеет производной в точке . Если предел (4.1) равен 
, то говорят, что функция имеет в точке бесконечную производную.В различных задачах (в том числе и экономических) производная функции
интерпретируется как скорость изменения величины y относительно x. Геометрический смысл производной состоит в том, что 
– это тангенс угла наклона касательной к графику в точке 
.Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.
Укажем правила дифференцирования, которые сводят вычисление производных одних функций к вычислению производных других (более простых) функций.
Если функции
дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке , и справедливы следующие формулы