Определители и их применение в алгебре и геометрии (стр. 2 из 4)
Получили, что det A=-det B.
Свойство доказано.
Свойство №4: Если все элементы какого-либо i-го столбца (строки) определителя являются суммами двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей в первом из которых в качестве i-го столбца (строки) взяты первые слагаемые, а во втором – вторые слагаемые; при этом элементы всех остальных строк (столбцов) у каждого из трёх определителей одинаковы.
Доказательство:
Возьмём матрицу, в которой элементы первого столбца равны aij+bj и посчитаем её определитель.
.Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые.
.То есть:
.Свойство доказано.
Свойство №5: Определитель, содержащий два пропорциональных, в частности два равных, столбца (строки), равен нулю.
Доказательство:
Пусть дан определитель detA≠0, содержащий две равные строки.
= detA ; 
= 
Поменяем местами эти равные строки. Получим новый определитель.
.Так как данный определитель получен из определителя detA перестановкой строк, то из предыдущего свойства следует, что полученный определитель принимает значение –detA. В то же время, количество слагаемых и модуль значений определителей detA и –detA равны, то справедливо будет равенство detA=-detA. Из данного равенства следует что detA=0. Свойство доказано.
Свойство №6: Определитель не меняется, если к какому-нибудь столбцу (строке) прибавить линейную комбинацию других столбцов (строк).
Доказательство:
Возьмём матрицу коэффициентов и посчитаем её определитель.
Прибавим к первому столбцу третий. Получим новую матрицу.
.Посчитаем её определитель.
.Свойство №7: Если все элементы какого-нибудь столбца (строки) определителя умножить на некоторое число k, то есть весь определитель умножается на k, то общий множитель любой строки или любого столбца можно выносить за знак определителя.
Доказательство: Возьмём матрицу и посчитаем её определитель.
То есть.
Свойство доказано.
5. Пример применения правила Крамера для решения систем n уравнений с n неизвестными
Определители очень широко используются при решении и исследовании систем линейных n уравнений с n неизвестными. Правило решения такой системы с помощью определителей называется правилом Крамера. Покажем это правило на примере.
Правило Крамера: правило решения системы n линейных уравнений. с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение. Это решение единственное и определяется таким правилом Крамера: значение каждого из неизвестных
, где 
- определитель системы., матрица которого составлена из коэффициентов при неизвестных системы, а 
I – определитель, матрица которого получена заменой столбца коэффициентов при данном неизвестном на столбец свободных членов системы. В случае если определитель системы равен нулю, система имеет бесконечно много решений.Пусть дана система из трех уравнений с тремя неизвестными:
Посчитаем определитель матрицы системы, составленной из коэффициентов при неизвестных:
 |  |
После подсчета определителя системы, подсчитаем определители неизвестных. Для этого вырезаем из
столбец данной переменной, а на его место ставим столбец свободного члена. 
= 
= 
= 6 
= 6 
= 6*(4*2-(-2)*11)=180