Определители и их применение в алгебре и геометрии (стр. 4 из 4)
рис. 2.
Спроектируем треугольник ОА1В1 на плоскость р и повернём против проекцию ОА2В2 в плоскости р по часовой стрелке на 900.
Получим треугольник ОА3В3, в котором по предыдущему
3=(А+В)*С0, 
3=В*С0, 
=В*С0.Так как
= 
+ , то (А+В)*С0=А*С0 + В*С0.(1)Заметив, что С=С*С0, умножим теперь обе части равенства (1) на скаляр С. Применив свойство 2 векторного произведения, получим:
(А+В)*СС
4. Справедливость этого утверждения основана на том, что площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон и синуса угла между ними, что, в свою очередь, следует непосредственно из определения векторного произведения векторов А и В. (рис. 3,4)
рис. 3
Рис. 4
4. Смешанное произведение
Сме́шанное произведе́ние
векторов 
— скалярное произведение вектора 
на векторное произведение векторов 
и 
: 
.Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов.
Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения.
Смешанное произведение
в правой декартовой системе координат равно определителю матрицы, составленной из векторов 
и : 
В частности,
Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
Смешанное произведение
по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда, образованного векторами и 
знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.Теорема: векторно-скалярное произведение (АВС)=(А*В)С трёх некомпланарных векторов есть число, абсолютная величина которого выражает объём параллелепипеда, построенного на векторах А, В и С, как на рёбрах. Знак произведения положителен, если векторы А, В и С образуют систему, одноимённую с основной
5. Векторное произведение векторов, заданных проекциями
Обозначим через x1,y1,z1 проекции вектора А, а через x2,y2,z2 проекции вектора В. Выразим через них векторное произведение А*В:
АxВ=(ix1+jy1+kz1)*(ix2+jy2+kz2).
По распределительному свойству суммы векторов умножаются как многочлены:
АxВ=(i*i)x1x2+(j*i)y1x2+(k*i)z1x2+(i*j)x1y2+(j*j)y1y2+(k*j)z1y2+(i*k)x1z2+(j*k)y1z2+(k*k)z1z2. (1)
Так как I, j, k являются тремя взаимно перпендикулярными единичными векторами и вращение от j к k представляется с конца вектора i совершающимся против часовой стрелки, то:
.Следовательно в полученном выражении (1) для АВ пропадут три слагаемых, остальные же соединятся попарно, и окончательная формула будет:
АxВ=i(y1z2-y2z1)+j(z1x2-z2x1)+k(x1y2-x2y1).
Последнюю формулу можно также записать в символический, лёгко запоминаемой форме, если воспользоваться понятием определителя 3-го порядка.
.Вектор
имеет координаты 
. Вектор 
имеет координаты 
. Тогда 
Так как верна формула
, то и следующая формула верна
6. Примеры решение задач (с использованием определителей)
Пример 1.
Найти площадь треугольника АВС с вершинами в точках А(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2), C(x3; y3; z3).
Решение:
Так как вектор
имеет проекции x2-x1 , y2-y1 , z2-z1 а вектор 
имеет проекции x3-x1 , y3-y1 , z3-z1 , то площадь треугольника 
= 
. Пример 2.
Определить синус угла А треугольника АВС с вершинами А(1,2,3), В(3,4,5), С(2,4,7).
Решение:
Так как векторы
и 
имеют соответственно проекции 2,2,2 и 1,2,4, то 
угол следует взять острым, если
, и тупым, если 
. В данном случае угол А острый.Вывод
Таким образом мы рассмотрели теорию определителей и выяснили, что, действительно, данная теория очень помогает при решение задач с системами n линейных уравнений с n неизвестными.
Также мы рассмотрели как теория определителей применяется в аналитической геометрии, в частности, в векторном и смешанном произведениях и задач, связанных с ними.
Список используемой литературы
1. Привалов И. И. Аналитическая геометрия Москва Государственное издательство технико-теоретической литературы 1956
2. www.wikipedia.ru