Определители и их применение в алгебре и геометрии (стр. 1 из 4)

Медико-биологический лицей г. Саратова.

Предмет: математика.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ.

Выполнили: Дёмин Дмитрий,

Грачёв Денис ученики 11 «б» класса МБЛ.

Руководитель: Винник Нина Дмитриевна

Учитель математики.

Саратов 2007 г.

Содержание

Введение.

Глава 1 Определители.

1. Определения.

2. Пример вычисления определителя второго порядка в общем виде.

3. Свойства определителя.

4. Доказательства свойств определителя.

5. Пример применения правила Крамера для решения систем из n уравнений с n неизвестными.

Глава 2 Векторное произведение.

1. Определения.

2. Свойства векторного произведения.

3. Доказательства свойств векторного произведение.

4. Смешанное произведение.

5. Векторное произведение векторов заданных проекциями.

6. Примеры решение задач (с использованием определителей).

Вывод.

Список литературы.

Введение

В алгебре существует широкий класс задач, решение которых является громоздким и трудным методами элементарной математики. Например, решение системы n линейных уравнений, с n неизвестными методом Жордана – Гаусса требует длительных вычислений и, как правило, часто ведёт к ошибке.

Теория определителей позволяет решать и исследовать системы с малыми затратами используя правило Крамера, рассматриваемое в этой работе.

(данную часть работы приготовил ученик 11 «б» класса Медико-биологического лицея Дёмин Дмитрий).

При вычислении площадей, объёмов в пространстве часто удобно пользоваться векторным и смешанным произведениями векторов, вычисляя определитель координат векторов, что представлено в работе.

(данную часть работы приготовил ученик 11 «б» класса Грачёв Денис).

Глава 1. Определители

1. Определения

Опр. Матрица – прямоугольная таблица, составленная из элементов произвольной природы. Элементы матрицы располагаются в строки и столбцы (иногда их называют колонками). Строки и столбцы часто называют собирательным термином «ряды матрицы». Элементы матрицы часто обозначают двойными индексами – a_ij; первый индекс i означает номер строки матрицы, в которой стоит элемент a_ij, а второй индекс j означает номер столбца матрицы, в котором стоит a_ij. Матрицы символически обозначают заключёнными в круглые или квадратные скобки, или двойные вертикальные черточки. (Кратко: (a_ij) или IIa_ijII).

Каждой квадратной матрице, элементами которой являются числа, ставится в соответствие число, называемое определителем матрицы.

Опр. Определитель (детерминант) n-го порядка – алгебраическая сумма n! слагаемых членов из элементов квадратной матрицы (таблицы), которое вычисляется по следующему закону: каждое слагаемое есть произведение n элементов взятых по одному и только по одному из каждой строки и из каждого столбца матрицы. Каждый член определителя берётся со знаком (-1)^t, где t – число инверсий во вторых индексах члена, когда первые индексы члена расположены в натуральном порядке.

2. Пример вычисления определителя второго порядка в общем виде

Пусть матрица A=

, тогда ее определитель будет содержать 2!=2 слагаемых:

a₁₁a₂₂ и + a₂₁a₁₂ , так как в перестановке

нет инверсий, следовательно, (-1)⁰= -1, а в перестановке есть одна инверсия и (-1)¹ = -1.

Значит,

= a₁₁a₂₂ – a₂₁a₁₂

Минором или алгебраическим дополнением элемента a_ij квадратной матрицы или ее определителя, называется определитель порядка n-1, который получается из исходного вычеркиванием i – той строки и j – того столбца.

3. Свойства определителя

Определитель обладает рядом свойств:

1) Определитель не изменяется при транспортировании матриц (строк и столбцов).

2) Если один из столбцов (строк) состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3) Если один из определителей получен из другого определителя перестановкой двух столбцов (строк), то определители отличаются друг от друга знаком.

4) Если все элементы какого-либо i-го столбца (строки) определителя являются суммами двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей в первом из которых в качестве i-го столбца (строки) взяты первые слагаемые, а во втором – вторые слагаемые; при этом элементы всех остальных строк (столбцов) у каждого из трёх определителей одинаковы.

5) Определитель, содержащий два пропорциональных, в частности два равных, столбца (строки), равен нулю.

6) Определитель не меняется, если к какому-нибудь столбцу (строке) прибавить линейную комбинацию других столбцов (строк).

7) Если все элементы какого-нибудь столбца (строки) определителя умножить на некоторое число k, то есть весь определитель умножается на k, то общий множитель любой строки или любого столбца можно выносить за знак определителя.

4. Доказательства свойств определителя

Свойство №1: Определитель не изменяется при транспортировании матриц (строк и столбцов).

Доказательство:

Опр. Матрицы A_ji называется транспонированной матрицей A_ij

= det A = det A^T

det A = det A^T

Выберем любое слагаемое из суммы определителя.

a_1i a_2j … a_nk

a_i1 a_j2 … a_kn  сумме det A^T

Следовательно определители равны.

Свойство №2: Если один из столбцов (строк) состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Доказательство:

Пусть дана матрица, один столбец которой равен 0.

=detA подсчитаем определитель данной матрицы.

Подсчитаем определитель данной матрицы, используя правило равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной и побочной диагоналям.

=0*а₂₂*а₃₃+а₁₂*а₂₃*0+а₃₂*а₁₃*0 = 0

=-(а₁₃*а₂₂*0+а₁₂*а₃₃*0+а₂₃*а₃₂*0)=0

Свойство доказано.

Свойство №3: Если один из определителей получен из другого определителя перестановкой двух столбцов (строк), то определители отличаются друг от друга знаком.

Доказательство: Возьмём матрицу определитель которой равен detA и переставим в ней 2 столбца. Получим:

,после перестановки получим: .

Посчитаем определители обеих матриц. Получим:

det A=(-1)⁰*((a₁₁*a₂₂*a₃₃+a₁₂*a₂₃*a₃₁+a₂₁*a₃₂*a₁₃)-(a₁₃*a₂₂*a₃₁+a₂₁*a₁₂*a₃₃+a₃₂*a₂₃*a₁₁))

det B=(-1)²*((a₃₁*a₂₂*a₁₃+a₂₁*a₁₂*a₃₃+a₃₂*a₂₃*a₁₁)-(a₃₃*a₂₂*a₁₁+a₁₂*a₂₃*a₃₁+a₂₁*a₃₂*a₁₃))

(a₁₁*a₂₂*a₃₃+a₁₂*a₂₃*a₃₁+a₂₁*a₃₂*a₁₃)-(a₁₃*a₂₂*a₃₁+a₂₁*a₁₂*a₃₃+a₃₂*a₂₃*a₁₁) +(a₃₁*a₂₂*a₁₃+a₂₁*a₁₂*a₃₃+a₃₂*a₂₃*a₁₁)-(a₃₃*a₂₂*a₁₁+a₁₂*a₂₃*a₃₁+a₂₁*a₃₂*a₁₃)=0