Свойства многоугольников и их применение в решении задач (стр. 2 из 5)

доказывается, что О

= О и т. д. Таким образом, точка О равноудалена от всех вершин многоугольника, поэтому окружность с центром О радиуса О является описанной около многоугольника.

Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например,

, А₂, . Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника ... нельзя описать более чем одну окружность. ч.т.д.

4 В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну.

5 Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

6 Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

7 Симметрия:

Говорят, что фигура обладает симметрией (симметрична) , если существует такое движение (не тождественное), переводящее эту фигуру в себя.

7.1. Треугольник общего вида не имеет осей или центров симметрии, он несимметричен. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет одну ось симметрии: серединный перпендикуляр к основанию.

7.2. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (серединные перпендикуляры к сторонам) и поворотную симметрию относительно центра с углом поворота 120 ° .

7.3 У любого правильного n-угольника есть n осей симметрии, все они проходят через его центр. Он также имеет поворотную симметрию относительно центра с углом поворота

.

При четном n одни оси симметрии проходят через противоположные вершины, другие - через середины противоположных сторон.

При нечетном n каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны.

Центр правильного многоугольника с четным числом сторон является его центром симметрии. У правильного многоугольника с нечетным числом сторон центра симметрии нет.

8 Подобие:

При подобии и

-угольник переходит в -угольник, полуплоскость – в полуплоскость, поэтому выпуклый n-уголъник переходит в выпуклый n-уголъник

Теорема: Если стороны и углы выпуклых многоугольников

и удовлетворяют равенствам:

, (1)
где -- коэффициент подия

, (2)

то эти многоугольники подобны.

8.1 Отношение периметров двух подобных многоугольников равно коэффициенту подобия.

8.2. Отношение площадей двух выпуклых подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.

2.ТРЕУГОЛЬНИКИ

2.1. СВОЙСТВА ПРОИЗВОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

В геометрии выделяют следующие основные свойства треугольников:

1. Во всяком треугольнике:

· Против равных сторон лежат равные углы;

· Против большей стороны лежит больший угол;

· Против большего угла лежит большая сторона.

2. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

3. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

4. Любой внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

5. Любой внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

6. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

7. Длина любой стороны треугольника меньше суммы и больше модуля разности длин двух других сторон:

|AC-CB|<AB<AC+CB (2.1)

8. Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.

9. Два не совпадающих ни с одной из сторон треугольника отрезка, поведённых из двух разных вершин треугольника до противолежащих этим вершинам сторон, пересекаются.

10. Прямая, проходящая через вершину треугольника и пересекающая противолежащую вершине сторону, делит данный треугольник на два треугольника, площади которых соответственно пропорциональны отрезкам, отсекаемым прямой на стороне данного треугольника.

11. Множеством вершин треугольников с одними и теми же основанием ВС и высотой h является множество точек двух прямых, параллельных прямой ВС и проходящих на расстоянии h от нее.

12. Если а, b, с - положительные числа, то треугольник со сторонами а, b, с существует в том и только в том случае, если одновременно выполняются неравенства:

а + b>с, b+с>а, а + с>b (2.2)

Эта система неравенств равносильна двойному неравенству

|a-b|<2c<a+b (2.3).

13.Площадь треугольника равна половине произведения его основаниям на высоту

14.Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

15.Любой треугольник можно вписать в окружность.

16.Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

17.Любой треугольник имеет три вневписанные окружности. Каждая сторона треугольника касается одной и только одной из этих окружностей.

2.2. РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРИЗНАК И СВОЙСТВА

Пример равнобедренного треугольника

Рис. 2.1.

Признак равнобедренного треугольника:

Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Свойства равнобедренного треугольника:

Для равнобедренного треугольника справедливы все свойства произвольного треугольника. Кроме того, имеют место следующие свойства:

1) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой.

3) В равнобедренном треугольнике медианы (а также высоты или биссектрисы), проведенные к боковым сторонам, равны.

2.3. СВОЙСТВА РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Пример равностороннего треугольника

Рис. 2.2.

Свойства равностороннего треугольника:

1) У равностороннего треугольника все углы равны между собой и составляют 60°.

2) В равностороннем треугольнике любая биссектриса является одновременно медианой и высотой.

3) В равностороннем треугольнике все медианы (а также высоты или биссектрисы) равны между собой.

4) Точка пересечения медиан (высот, биссектрис) равностороннего треугольника, называемая его центром, является центром вписанной и описанной окружностей.

2.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРИЗНАКИ И СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Пример прямоугольного треугольника

Признаки прямоугольного треугольника:

1) Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то такой треугольник прямоугольный.

2) Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

Свойства прямоугольного треугольника:

Для прямоугольного треугольника справедливы все свойства произвольного треугольника. Кроме того, имеют место следующие свойства:

1) У прямоугольного треугольника только один прямой угол, два других его угла острые.

2) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

3) В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого катета.

4) В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°.

5) Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.

6) Гипотенуза вписанного в окружность прямоугольного треугольника совпадает с диаметром этой окружности.

7) Высота прямоугольного прямоугольника, опущенная из вершины прямого угла, делит этот треугольник на два треугольника, подобных исходному.

8) Биссектриса прямого угла в прямоугольном треугольнике лежит между медианой и высотой и делит угол между ними пополам.