Свойства многоугольников и их применение в решении задач (стр. 3 из 5)

9) Площадь равна половине произведения его катетов.

3. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и невыпуклые (A₁B₁C₁D₁).

Свойства четырехугольника:

1. Четырехугольник является выпуклым тогда и только тогда, когда его диагонали пересекаются.

2. В любом четырехугольнике какие-то две противолежащие вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.

3. Прямые, содержащие диагонали любого четырехугольника, пересекаются.

4. Каждая сторона четырехугольника меньше суммы трех других сторон:

(3.1)

5. Площадь произвольного выпуклого четырехугольника:

d₁, d₂ — диагонали; — угол между ними; S — площадь.

S =

d₁d₂ sin

(3.2)

6 Около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов этого четырехугольника равна, 180°.

7 В четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон(Теорема Птолемея).

8 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

3.1. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. ЕГО СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого

противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

1) противолежащие стороны равны;

2)

противоположные углы равны;

3) диагонали точкой пересечения делятся пополам;

4) сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;

5) сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: d₁²+d₂²=2(a²+b²). (3.3)

6) Около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда этот параллелограмм является прямоугольником.

7) Если параллелограмм вписан в окружность, то он является ромбом.

Признаки параллелограмма:

Четырехугольник является параллелограммом, если:

1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.

2. Противоположные стороны попарно равны.

3. Противоположные углы попарно равны.

4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

3.2. ТРАПЕЦИЯ. СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ ТРАПЕЦИИ

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие

непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции:

1 ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;

2 если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;

3 если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;

4 если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

5 Площадь трапеции:
a и b — основания; h —расстояние между ними; l — средняя линия

, S = lh (3.4)

6 Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция равнобедренная.

Признаки трапеции:

Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

3.3. ПРЯМОУГОЛЬНИК. ЕГО СВОЙСТВА И

ПРИЗНАКИ

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника:

1 все свойства параллелограмма;

2 диагонали равны.

3 площадь равна:

S = ab (3.5)

S =

d₁d₂ sin

(3.6)

4 если прямоугольник вписан в окружность, то он является квадратом.

Признаки прямоугольника:

Параллелограмм является прямоугольником, если:

1. Один из его углов прямой.

2. Его диагонали равны.

3.4. РОМБ. ЕГО СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

1 все свойства параллелограмма;

2 диагонали перпендикулярны;

3 диагонали являются биссектрисами его углов.

4 площадь ромба:

S = ah_a (3.7)

S = a²sin

(3.8)

S =

d₁d₂ (3.9)

Признаки ромба:

1. Параллелограмм является ромбом, если:

2. Две его смежные стороны равны.

3. Его диагонали перпендикулярны.

4. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

3.5. КВАДРАТ. ЕГО СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ

Квадратом называется прямоугольник, у которого все

стороны равны.

Свойства квадрата

1 все углы квадрата прямые;

2 диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

3 площадь квадрата:

S = a² (3.10)

S =

d² (3.11)

Признаки квадрата:

Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

4.ПРИМЕРЫ РЕШЕННЫХ ЗАДАЧ.

Задача1

Точка Р лежит внутри прямоугольника ABCD. Докажите, что .

РЕШЕНИЕ: Рассмотрим параллелограммы BLDP и APCL: по свойству d₁²+d₂²=2(a²+b²) получим

Т.к. ABCD прямоугольник, то BD=AC. Тогда

И . Приравняем полученные равенства:

= .

Задача2

AC – наибольшая сторона треугольника ABC. На АС выбираются точки А₁ и С₁ так, что АС₁=АВ и СА₁=СВ. Затем на стороне АВ берется точка А₂ так, что АА₁=АА₂, а на стороне CD – точка С₂ так, что СС₁=СС₂. Докажите, что точки А₁, А₂, С₁, С₂ лежат на одной окружности.

РЕШЕНИЕ: АА₁=АА₂ и АС₁=АВ(по условию задачи), а тока А₁

и А₂

A₁A₂||BC₁? При чем по теореме Фалеса. Можно сделать вывод, что A₁A₂BC₁ равнобокая трапеция. Аналогично можно доказать, что четырехугольник A₁ВС₂С₁ также равнобокая трапеция. Так как эти трапеции правильные, то около них можно описать окружности и соответственно. Мы получили, что точки A₁, В и С₁принадлежат двум окружностям одновременно, что невозможно, т.к. по свойству окружности: через три точки может проходить только одна окружность. Тогда можно сделать вывод о том, что и совпадают. А следовательно точки А₁, А₂, С₁, С₂ лежат на одной окружности.