Смекни!
smekni.com

Свойства многоугольников и их применение в решении задач (стр. 4 из 5)

Задача3 Докажите, что выпуклый n-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол

вокруг некоторой точки.

РЕШЕНИЕ: Выпуклый n-угольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Пусть A1A2...An -- правильный многоугольник, O — точка пересечения биссектрис его углов AnA1A2 и A1A2A3. Тогда треугольники AnOA1 и A2OA1 равны по двум сторонам и углу между ними.

Кроме того, из равенства углов n-угольника следует, что треугольники AnOA1A2OA1 — равнобедренные. Поэтому

OAn = OA1 = OA2,

AnOA1 =
A1OA2.

Аналогично докажем, что

OA1 = OA2 =...= OAn,
A1OA2 =
A2OA3 =...= =
AnOA1 =
.

Следовательно, O — центр окружности, проходящей через точки A1, A2, ..., An. При повороте на угол

вокруг точки O данный n-угольник переходит сам в себя.

Пусть теперь известно, что некоторый выпуклый n-угольник A1A2...An переходит в себя при повороте вокруг некоторой точки O на угол

. Ясно, что эта точка лежит внутри многоугольника, а т.к. многоугольник выпуклый, то

A1OA2 +...+
AnOA1 = 360o.

Поскольку вершины многоугольника при повороте переходят в вершины, то точки A1, A2, ..., An лежат на окружности с центром O, и

A1OA2 =
A2OA3 =...=
AnOA1 =
.

Поэтому A1OA2, A2OA3, ..., AnOA1 — равные равнобедренные треугольники. Следовательно, все стороны и все углы многоугольника равны, т.е. он правильный.

Задача4 Докажите, что в правильном 12-угольнике A1A2...A12 диагонали A1A5, A2A6, A3A8 и A4A11 пересекаются в одной точке.

РЕШЕНИЕ:

Пусть A1A2...A12 — правильный 12-угольник. Рассмотрим треугольник A2A4A8. Прямые A2A6, A3A8 и A4A11 — биссектрисы его углов. Точно так же прямые A3A8, A5A1 и A11A4 — биссектрисы углов треугольника A3A5A11. Отсюда следует, что диагонали A1A5, A2A6, A3A8 и A4A11 проходят через одну точку.

Задача5 Пусть О — центр правильного многоугольника A1A2A3...An, X -- произвольная точка плоскости. Докажите, что:

a)

+...+
= 0

б)

+...+
= n
.

РЕШЕНИЕ:

а) Обозначим
+...+
=
.
При повороте на угол
вокруг точки O точка
переходит в точку
(1
i
n - 1), а точка Anв точку A1. Поэтому вектор
при таком повороте переходит сам в себя. Следовательно,
=0.

б)

Задача6 Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки X до вершин правильного n-угольника будет наименьшей, если X — центр n-угольника.

РЕШЕНИЕ:

Пусть Xkобраз точки X при повороте относительно центра O данного n-угольника, переводящем Ak в A1. При этом повороте отрезок AkX переходит в A1Xk. Следовательно, A1X + ... + AnX = A1X1 + ... + A1Xn. А так как n-угольник X1...Xn правильный, то
+ ... +
= n
(см. Задачу5), а значит, A1X1 + ... + AnXn
n
.

Задача7 В правильном n-угольнике (n

3) отмечены середины всех сторон и диагоналей. Какое наибольшее число отмеченных точек лежит на одной, окружности?

РЕШЕНИЕ:

Пусть сначала n = 2m. Диагонали и стороны правильного 2m-угольника имеют m различных длин. Поэтому отмеченные точки лежат на m - 1 концентрических окружностях (по n точек на каждой) или в общем центре этих окружностей. Поскольку различные окружности имеют не более двух общих точек, окружность, не принадлежащая этому семейству концентрических окружностей, содержит не более 1+2(m - 1)=2m-1=n-1 отмеченных точек.

Пусть теперь n = 2m + 1. Диагонали и стороны правильного (2m + 1)-угольника имеют m различных длин. Поэтому отмеченные точки лежат на m концентрических окружностях (по n точек на каждой). Окружность, не принадлежащая этому семейству концентрических окружностей, содержит не более 2m = n - 1 отмеченных точек.

В обоих случаях наибольшее число отмеченных точек, лежащих на одной окружности, равно n.

Задача8 Вершины правильного треугольника находятся на сторонах AB, CD и EF правильного шестиугольника ABCDEF. Докажите, что они имеют общий центр.

РЕШЕНИЕ:

Пусть XYZ — данный треугольник, KLM — треугольник, получаемый при продолжении сторон AB, CD и EF шестиугольника ABCDEF (рис.). Пусть O — центр треугольника XYZ, докажем, что он является центром треугольника KLM.