Свойства многоугольников и их применение в решении задач (стр. 4 из 5)

Задача3 Докажите, что выпуклый n-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол

вокруг некоторой точки.

РЕШЕНИЕ: Выпуклый n-угольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Пусть A₁A₂...A_n -- правильный многоугольник, O — точка пересечения биссектрис его углов A_nA₁A₂ и A₁A₂A₃. Тогда треугольники A_nOA₁ и A₂OA₁ равны по двум сторонам и углу между ними.

Кроме того, из равенства углов n-угольника следует, что треугольники A_nOA₁A₂OA₁ — равнобедренные. Поэтому

OA_n = OA₁ = OA₂,

A_nOA₁ =

A₁OA₂.

Аналогично докажем, что

OA₁ = OA₂ =...= OA_n,

A₁OA₂ =

A₂OA₃ =...= =

A_nOA₁ =

Следовательно, O — центр окружности, проходящей через точки A₁, A₂, ..., A_n. При повороте на угол

вокруг точки O данный n-угольник переходит сам в себя.

Пусть теперь известно, что некоторый выпуклый n-угольник A₁A₂...A_n переходит в себя при повороте вокруг некоторой точки O на угол

. Ясно, что эта точка лежит внутри многоугольника, а т.к. многоугольник выпуклый, то

A₁OA₂ +...+

A_nOA₁ = 360^o.

Поскольку вершины многоугольника при повороте переходят в вершины, то точки A₁, A₂, ..., A_n лежат на окружности с центром O, и

A₁OA₂ =

A₂OA₃ =...=

A_nOA₁ =

Поэтому A₁OA₂, A₂OA₃, ..., A_nOA₁ — равные равнобедренные треугольники. Следовательно, все стороны и все углы многоугольника равны, т.е. он правильный.

Задача4 Докажите, что в правильном 12-угольнике A₁A₂...A₁₂ диагонали A₁A₅, A₂A₆, A₃A₈ и A₄A₁₁ пересекаются в одной точке.

РЕШЕНИЕ:

Пусть A₁A₂...A₁₂ — правильный 12-угольник. Рассмотрим треугольник A₂A₄A₈. Прямые A₂A₆, A₃A₈ и A₄A₁₁ — биссектрисы его углов. Точно так же прямые A₃A₈, A₅A₁ и A₁₁A₄ — биссектрисы углов треугольника A₃A₅A₁₁. Отсюда следует, что диагонали A₁A₅, A₂A₆, A₃A₈ и A₄A₁₁ проходят через одну точку.

Задача5 Пусть О — центр правильного многоугольника A₁A₂A₃...A_n, X -- произвольная точка плоскости. Докажите, что:

+...+
= 0

б)

+...+
= n
.

РЕШЕНИЕ:

а) Обозначим
+...+
=
. При повороте на угол
вокруг точки O точка
переходит в точку
(1

n - 1), а точка A_n — в точку A₁. Поэтому вектор
при таком повороте переходит сам в себя. Следовательно,
=0.

б)

Задача6 Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки X до вершин правильного n-угольника будет наименьшей, если X — центр n-угольника.

РЕШЕНИЕ:

Пусть X_k — образ точки X при повороте относительно центра O данного n-угольника, переводящем A_k в A₁. При этом повороте отрезок A_kX переходит в A₁X_k. Следовательно, A₁X + ... + A_nX = A₁X₁ + ... + A₁X_n. А так как n-угольник X₁...X_n правильный, то
+ ... +
= n
(см. Задачу5), а значит, A₁X₁ + ... + A_nX_n
n
.

Задача7 В правильном n-угольнике (n

3) отмечены середины всех сторон и диагоналей. Какое наибольшее число отмеченных точек лежит на одной, окружности?

РЕШЕНИЕ:

Пусть сначала n = 2m. Диагонали и стороны правильного 2m-угольника имеют m различных длин. Поэтому отмеченные точки лежат на m - 1 концентрических окружностях (по n точек на каждой) или в общем центре этих окружностей. Поскольку различные окружности имеют не более двух общих точек, окружность, не принадлежащая этому семейству концентрических окружностей, содержит не более 1+2(m - 1)=2m-1=n-1 отмеченных точек.

Пусть теперь n = 2m + 1. Диагонали и стороны правильного (2m + 1)-угольника имеют m различных длин. Поэтому отмеченные точки лежат на m концентрических окружностях (по n точек на каждой). Окружность, не принадлежащая этому семейству концентрических окружностей, содержит не более 2m = n - 1 отмеченных точек.

В обоих случаях наибольшее число отмеченных точек, лежащих на одной окружности, равно n.

Задача8 Вершины правильного треугольника находятся на сторонах AB, CD и EF правильного шестиугольника ABCDEF. Докажите, что они имеют общий центр.

РЕШЕНИЕ:

Пусть XYZ — данный треугольник, KLM — треугольник, получаемый при продолжении сторон AB, CD и EF шестиугольника ABCDEF (рис.). Пусть O — центр треугольника XYZ, докажем, что он является центром треугольника KLM.