Свойства многоугольников и их применение в решении задач (стр. 1 из 5)

Учреждение образования «Брестский государственный университет
им. А.С. Пушкина»

Кафедра алгебры и геометрии

Свойства многоугольников и их применение в решении задач

Курсовая работа

студентки 3 курса

Руководитель

преподаватель кафедры алгебры и геометрии

Брест 2007

ВВЕДЕНИЕ

Многими математическими знаниями люди пользовались уже в глубокой древности – тысячи лет назад. Эти знания были необходимы древним купцам и строителям храмов, дворцов и пирамид, воинам и землемерам, жрецам и путешественникам.

Знания постепенно накапливались и систематизировались. Около 4 тыс. лет назад возникла наука об измерении расстояний, площадей и объёмов, о свойствах различных фигур. Так как речь в основном шла о земельных участках, то древние греки, узнавшие об этой науке от египтян, назвали её геометрией (по-гречески «гео» - земля, а «метрео» - измеряю. Значит, «геометрия» буквально означает «землемерие». Греческие учёные узнали много новых свойств геометрических фигур, и уже тогда геометрией стали называть науку о геометрических фигурах, а для науки об измерении Земли ввели другое название – «геодезия» (происходит от греческих слов «деление земли»).

Древние люди знали, что немаловажное значение имеют такие фигуры как многоугольники. Например, древнегреческие математики (Антифон, Бризон, Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.

В данной работе мне предстоит изучить некоторые свойства многоугольников и их особенности при решении задач, а также научиться применять полученные знания на практике.

1.1.МНОГОУГОЛЬНИКИ. СВОЙСТВА МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Многоугольник — это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная без самопересечений (простой многоугольник (рис.1а) ), однако иногда самопересечения допускаются (тогда многоугольник не является простым (рис.1б) )

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника. Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Углом (или внутренним углом) выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, при этом угол считается со стороны многоугольника. В частности угол может превосходить 180° если многоугольник невыпуклый.

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разница между 180° и внутренним углом. Из каждой вершины

-угольника при > 3 выходят — 3 диагонали, поэтому общее число диагоналей -угольника равно .

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с чётырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.

Многоугольник с n вершинами называется n-угольником.

Плоским многоугольником называется фигура, которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади.

Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий:

1. он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины. (т. е. продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон);

2. он является пересечением (т. е. общей частью) нескольких полуплоскостей;

3. любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны, например равносторонний треугольник, квадрат и пентагон.

Выпуклый многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.

Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все углы и все стороны равны между собой.

Свойства многоугольников:

1 Каждая диагональ выпуклого

-угольника, где >3, разлагает его на два выпуклых многоугольника.

2 Сумма всех углов выпуклого

-угольника равна .

Д-во: Теорему докажем методом математической индукции. При

= 3 она очевидна. Предположим, что теорема верна для -угольника, где <

, и докажем ее для -угольника.

Пусть — данный многоугольник. Проведем диагональ этого многоугольника. По теореме3 многоугольник разложен на треугольник и выпуклый -угольник (рис.5). По предположению индукции . С другой стороны, . Складывая эти равенства и учитывая, что (

— внутренний луч угла ) и (

— внутренний луч угла ), получаем .При получаем: .

3 Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Д-во: Пусть правильный многоугольник, а и — биссектрисы углов , и (рис. 150). Так как , то , следовательно, * 180° < 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке О. Докажем, что O = ОА₂= О = ... = ОА_п. Треугольник О равнобедренный, поэтому О = О . По второму признаку равенства треугольников , следовательно, О = О . Аналогично