Смекни!
smekni.com

Матрицы и определители 3 (стр. 3 из 4)

с22 = 2.2+(-1).(-1) = 5.

Запишем теперь матрицу

.

Пример 4. Пусть А и В – матрицы из примера 6. Вычислить произведение ВА=Д, проверить, будут ли матрицы А и В перестановочны.

.

Выпишем формулы для вычисления элементов i = 1,2; j = 1,2 матрицы Д:

d11 = a11b11 + b12a21, d12 = b11a12 + b12a22,

d21 = b21a11 + b22a21, d22 = b21a12 + b22a22.

Подставим в эти формулы числовые значения

d11 = 4, d12 = -2, d22 = 1, и матрица D=ВА имеет вид

Очевидно, АВ ¹ ВА, т.е. от перестановки сомножителей произведение изменилось, т.е. матрицы А и В не перестановочны.

Пример 5. Найти произведение С матрицы А на вектор – столбец

.

.

Умножение возможно, т.к. вектор

можно рассматривать как матрицу, имеющую 3 строки и 1 столбец, а матрица А имеет 3 столбца, и число ее столбцов равно числу строк вектора
. Произведение С = А
будет иметь порядок 4.1, т.е. будет вектором-столбцом с элементами с11, с21, с31, с41.

с11 = 1.4-1.2+0 = 2; с21 = 0.4+2.2-4.1 = 0;

с31 = 4+2 = 6; с41 = -4+4 = 0.

.

Таким образом, если умножение возможно, то произведение матрицы на вектор будет вектором.

Примеры решения задач на вычисление определителей.

Теория изложена в главе 2 §1.

Пример 1. Вычислить определитель .

Вычислим по правилу Саррюса

D = 1(-1) . (-5)+(-2)(-4)0+4(-3)3-0(-1)3-4(-2)(-5)-(-3)(-4)1=5+0-36+0-40-12=-83.

Пример 2. Вычислить определитель примера 1 разложением по первой строке.

Найдем алгебраические дополнения.

D = 1. (-7)+(-2)20+3(-12)=-7-40-36=-83.

Пример 3. Вычислить определитель 4го порядка.

.

Найдем алгебраические дополнения А12, А13

D = 0.

Примеры решения задач на вычисление обратной матрицы.

Теория изложена в главе 3.

Пример 1. Найти обратную к матрице

Вычислим алгебраические дополнения всех элементов данной матрицы

А11 = +(-4)=-4 А21 = -(-2)=2

А12 = -3 А22 = +1

Найдем определитель D = (А) = 1(-4)-3(-2)=-4+6=2

Проверка

.

Пример 2. Найти обратную к матрице

D(А) = -2

Проверка

.

Перечень умений.

п/п

Умение Алгоритмы
1 Линейные операции над матрицами. Вычисление С=aА+bВ, где a,b - числа, А,В – заданные матрицы. 1. Определить, имеют ли матрицы А и В одинаковый порядок. Если «да», то перейти к п.2, в противном случае вычислит С нельзя. 2. Умножить все элементы матрицы А на число a

aА = (aаij)m,n3. Умножить все элементы матрицы В на число b

bВ = (bbij)m,n4. Вычислить элементы матрицы С по формулам: сij = aаij + bbij , i = 1,2,…m, j = 1,2…n

2 Умножение матриц. Вычисление произведения матрицы А на В.С = АВ 1. Проверить, совпадает ли число столбцов матрицы А = (аij)m,nс числом строк матрицы В = (bij)n,k(«согласованы» ли порядки множителей). Только в этом случае можно умножить А на В. В противном случае вычислить С нельзя. 2. Определить порядок матрицы произведения6С = (сij)m,kимеет порядок mxk, где m – число строк первого множителя А, k – число столбцов второго множителя В. 3. Вычислить каждый элемент матрицы произведения С по формулам:сij = аi1b1j + аi2b2j+ … + аinbnji = 1,2, …m, j = 1,2…n. 4. Выписать полученную матрицу С.
3 Вычисление определителей 3го порядка по правилу Саррюса 1. По схеме Саррюса составить произведение трех элементов определителя, взяв по одному из строки и столбца. 2. Вычислить определитель, подсчитав сумму полученных произведений, взяв эти произведения с соответствующим знаком.
4 Вычисление определителей разложением по первой строке 1. Найти миноры Mij элементов первой строки вычеркивая последовательно элементы первой строки и j-ый столбец (j = 1,2 …,n), составляя из оставшихся элементов определители.2. Найти алгебраические дополнения элементов первой строки А1j= (-1)1 + jMij3. Вычислить определитель 4. D = а11А11 + а12А12 +…+ а1nА1n
5 Вычисление обратной матрицы
1. Найти алгебраические дополнения элементов матрицы Аij= (-1)i + jMij2. Вычислить определитель матрицы D(А)3. Найти обратную матрицу

Тренинг умений.

Пример выполнения упражнения тренинга на умение 1.

Задание

Вычислить матрицу С = 5А – В, где

.

Решение.

Предварительно заполните таблицу, подобрав к каждому алгоритму конкретное соответствие из данного задания.

Алгоритм Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1 Определить, имеют ли матрицы А и В одинаковый порядок. Если «да», перейти к п.2, в противном случае вычислить С = 5А – В нельзя Обе матрицы имеют порядок 2.3 (на первом месте число строк, на втором – число столбцов).Матрицы одного порядка, переходим к п.2.
2 Умножить все элементы А на число 5
3 Умножить все элементы В на (-1)
4 Вычислить элементы матрицы С:сij = 5аij – вij

Решите самостоятельно следующие задачи:

Задача 1.

Даны матрицы А и В. Найти С = 2А + 3В.

.

Задача 2.

Даны матрицы А и В. Найти С = 3А – 2В.

.

Пример выполнения упражнения тренинга на умение 2.

Задание

Даны матрицы А и В. Найти матрицу С = АВ, если возможно.

.

Решение.

Предварительно заполните таблицу, подобрав к каждому алгоритму конкретное соответствие из данного задания.

Алгоритм Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1 Проверим, совпадает ли число столбцов матрицы А с числом строк В («согласованы» ли их порядки). В противном случае умножение А на В невозможно. Матрица А имеет порядок 2.3, число ее столбцов равно 3, матрица В имеет порядок 3.3, число столбцов у нее 3, порядки «согласованы», существует произведение А на В

С = АВ

2 Определить порядок матрицы произведения: С имеет порядок mxk , где m – число строк А, n – число столбцов В. Порядок матрицы С будет 2.3, т.к. матрица А имеет 2 строки, а матрица В имеет 3 столбца

С = (сij)23

3 Вычислить каждый элемент матрицы С по формулам: сij = аi1b1j + аi2b2j+ … + аinbnji = 1,2, …m, j = 1,2…n. Вычисляем элементы первой строки С: i = 1, j = 1,2,3 с11 = а11b11 + а12b21 + а13b31==(1.1)+2(-1)+(-1) .1=-2 с12 = а11b12 + а12b22 + а13b32==1.2+2. (-3)+(-1) .4=-8с1311b13 + а12b23 + а13b33==1.0+2.0+(-1) .1=-1Вычисляем элементы второй строки: i = 2, j = 1,2,3 с2121b11 + а22b21 + а23b31==3.1+1. (-1)+0.1=2с2221b12 + а22b22 + а13b32==3.2+1. (-3)+0.4=3с2321b13 + а22b23 + а23b33==3.0+1.0+0.1=0
4 Выпишем полученную матрицу-произведение

Решите самостоятельно следующие задачи.