Матрицы и определители (стр. 2 из 3)
Среди квадратных матриц необходимо выделить важный класс диагональных матриц.
Определение. Диагональной называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные вне главной диагонали, равны 0:
.В том случае, если
, то для любой квадратной матрицы 
порядка 
справедливо 
. Действительно, для 
получаем 
. Для 
– 
. Отсюда, 
.Среди диагональных матриц с равными друг другу элементами особое место занимают две матрицы: единичная и нулевая. У единичной матрицы
, обозначается она – 
, у нулевой 
, обозначается она – 
.Как было показано
, 
. Перемножив эти матрицы, можно убедиться, что 
; 
. Таким образом, матрицы и выполняют ту же роль, что и 1 и 0 среди чисел. Вообще нулевой называют любую матрицу, элементы которой равны нулю.Понятие определителя
Выше было показано, что матрица – это прямоугольная таблица, составленная из чисел. Особое место среди матриц занимают квадратные матрицы. Рассмотрим произвольную квадратную матрицу порядка
или просто :  | (3.1.1) |
Оказывается, что с такой матрицей всегда можно связать вполне определенную численную характеристику.
Определение.Численная характеристика квадратной матрицы называется ее определителем.
Рассмотрим матрицу первого порядка
.Определение. Численной характеристикой матрицы первого порядка, то есть определителем первого порядка, называется величина ее элемента
.Обозначается определитель одним из символов
.Рассмотрим матрицу второго порядка
.Определение. Определителем второго порядка, соответствующим матрице второго порядка, называется число, равное
.Обозначается определитель одним из символов
 | (3.1.2) |
Очевидно, что для составления определителя второго порядка, необходимо найти разность произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали этой матрицы.
Поскольку одна из форм обозначения определителя и обозначения матрицы имеют много общего (записывается таблица из чисел), то так же, как и у матрицы, говорят о столбцах, строках и элементах определителя.
После того как рассмотрены определители 1-го и 2-го порядков, можно перейти к понятию определителя любого порядка. Но перед этим введем понятие минора.
Определение. Минором любого элемента 
квадратной матрицы порядка называется определитель порядка 
, соответствующий той матрице, которая получается из первоначальной в результате вычеркивания 
-ой строки и 
-го столбца, на пересечении которых стоит элемент
.Обычно минор элемента
обозначается 
.Определение. Определителем порядка , соответствующим матрице порядка , называется число, равное
.Обозначается определитель одним из символов
 | (3.1.3) |
Приведенное выражение представляет собой правило вычисления определителя
-го порядка по элементам первой строки соответствующей ему матрицы и по минорам элементов этой строки, которые являются определителями порядка . Для 
это правило дает: 
.В приведенном правиле вычисления определителя фигурирует лишь первая строка. Возникает вопрос, а нельзя ли вычислить определитель, используя элементы других строк?
Теорема. Каков бы ни был номер строки ( 
) , для определителя -го порядка справедлива формула 
, называемая разложением этого определителя по -ой строке.
Нетрудно заметить, что в этой формулировке степень при (-1) равна сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент
.Докажем эту теорему для
. В этом случае может быть равно только 2, так как 
входит в основное определение величины определителя. Итак: 
.Полученное выражение совпадает с тем, которое было дано в определении, следовательно, для определителя 2-го порядка теорема доказана.
Для произвольного
данная теорема доказывается методом математической индукции.Итак, показано, что определитель может быть разложен по любой строке. Возникает вопрос, а нельзя ли сделать то же самое, использовав произвольный столбец.
Теорема. Каков бы ни был номер столбца ( 
), для определителя -го порядка справедлива формула 
, называемая разложением этого определителя по -му столбцу.
Докажем теорему для
: 
.Данное выражение равно величине определителя, введенной по определению.
Итак, на основании теорем можно сказать, что для вычисления определителя
-го порядка необходимо его разложить по произвольной строке или столбцу.