Лекции по математике (стр. 3 из 4)
Если главный определитель равен нулю и хотя бы один их вспомогательных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет.
Если главный определитель и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесконечно много решений.
1.2.4. Решение СЛУ методом Гаусса.
Определение 1. Элементарными преобразованиями системы называются:
1) умножение уравнения на число, отличное от нуля;
2) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число, отличное от нуля.
3) перестановка двух уравнений;
4) отбрасывание уравнения 0=0.
Если получено уравнение 0=k, то система несовместна.
Метод Гаусса состоит в приведении системы к диагональному виду путем последовательного исключения неизвестных. Количество исключенных неизвестных равно числу линейно независимых уравнений. Переменная считается исключенной, если она содержится только в одном уравнении с коэффициентом 1.
Пример.
.
Метод Гаусса удобно применять к расширенной матрице системы, левую часть которой с помощью элементарных преобразований матрицы нужно привести к единичной матрице. Составим расширенную матрицу:
Получено решение системых (3;2;1).
Вопросы для самопроверки.
1.Что представляет собой система линейных уравнений с п неизвестными?
2. Перечислите способы решения СЛУ.
3. Какие прикладные задачи можно решать матричным способом?
4. Назовите формулы Крамера.
Перечислите этапы метода Гаусса.
Резюме к разделу 1.
Изучение раздела 1 формирует у обучающихся умения по работе с матрицами и определителями, используемые для решения систем линейных уравнений. Основной целью изучения дисциплины является приобретение студентами теоретических знаний и прак
Перечень терминов, определений.
Матрицы, операции над ними. Определите матриц, их вычисления. Обратная матрица. Определители матриц, их свойства. Алгебраическое дополнение. Минор матрицы. Ранг матрицы. Обратная матрица, способы ее нахождения. Системы п-линейных уравнений с п переменными. Матричный метод решения СЛУ, с помощью формул Крамера, методом Гаусса.
Раздел 2. Элементы аналитической геометрии.
2.1. Векторы;
Вопросы:
2.1.1. Линейное векторное пространства;
2.1.2. Скалярное произведение. Длина вектора. Угол межу векторами.
2.1.1. Линейное векторное пространство.
Определение 1. Упорядоченная совокупность из n действительных чисел (а1, а2, …, аn) называется n-мерным вектором ā(а1, а2, …, аn). Числа а1, а2, ..., аn называются координатами вектора.
Два n-мерных вектора
(а1, а2, …, аn) и 
(b1, b2, …, bn) считаются равными, если равны их соответствующие координаты: 
, ( 
).Вектор, все координаты которого равны нулю, называется ноль-вектором и обозначается
.Пример.
(3; 1/2; 0,7; -2; 0) - пятимерный вектор.Определение 2. Суммой (разностью) двух n-мерных векторов
(а1, а2, …, аn) и (b1, b2, …, bn) называется n-мерный вектор, координаты которого равны суммам (разностям) соответствующих координат исходных векторов: 
=(a1 b1; a2 b2; …; an bn).Определение 3. Произведением n-мерного вектора
(а1, а2, …, аn) на число k называется n‑мерный вектор, координаты которого равны произведениям координат вектора на число k: k · =(ka1; ka2; …; kan).Свойства операций над векторами:
1)
+ 
= + - коммутативность,2)
+( + 
)=( + )+ - ассоциативность,3) k·(
)=k· k· - дистрибутивность,4) (k1
k2)· = k1 · k2· ,5) (k1·k2)·
=k1·(k2· ),6) 1·
= ,7) 0·
= 
,8) k·
= ,Определение 4. Совокупность всех n-мерных векторов с введенными на ней операциями сложения и умножения на число называется n-мерным линейным векторным пространством и обозначается En.
Пример.E2 - совокупность всех двухмерных векторов плоскости с обычными операциями сложения и умножения векторов.
2.1.2. Скалярное произведение.
Длина вектора. Угол между векторами.
Определение 1. Скалярным произведением двух n-мерных векторов
(а1, а2, ..., аn) и (b1, b2, ..., bn) называется число, равное сумме попарных произведений соответствующих координат. · =а1·b1+a2·b2+…+an·bn.Свойства скалярного произведения:
1.
· = · - коммутативность;2.
·( + )= · + · - дистрибутивность;