Смекни!
smekni.com

Лекции по математике (стр. 3 из 4)

Если главный определитель равен нулю и хотя бы один их вспомогательных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет.

Если главный определитель и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесконечно много решений.

1.2.4. Решение СЛУ методом Гаусса.

Определение 1. Элементарными преобразованиями системы называются:

1) умножение уравнения на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число, отличное от нуля.

3) перестановка двух уравнений;

4) отбрасывание уравнения 0=0.

Если получено уравнение 0=k, то система несовместна.

Метод Гаусса состоит в приведении системы к диагональному виду путем последовательного исключения неизвестных. Количество исключенных неизвестных равно числу линейно независимых уравнений. Переменная считается исключенной, если она содержится только в одном уравнении с коэффициентом 1.

Пример.

.

Метод Гаусса удобно применять к расширенной матрице системы, левую часть которой с помощью элементарных преобразований матрицы нужно привести к единичной матрице. Составим расширенную матрицу:

Получено решение системых (3;2;1).

Вопросы для самопроверки.

1.Что представляет собой система линейных уравнений с п неизвестными?

2. Перечислите способы решения СЛУ.

3. Какие прикладные задачи можно решать матричным способом?

4. Назовите формулы Крамера.

Перечислите этапы метода Гаусса.

Резюме к разделу 1.

Изучение раздела 1 формирует у обучающихся умения по работе с матрицами и определителями, используемые для решения систем линейных уравнений. Основной целью изучения дисциплины является приобретение студентами теоретических знаний и прак

Перечень терминов, определений.

Матрицы, операции над ними. Определите матриц, их вычисления. Обратная матрица. Определители матриц, их свойства. Алгебраическое дополнение. Минор матрицы. Ранг матрицы. Обратная матрица, способы ее нахождения. Системы п-линейных уравнений с п переменными. Матричный метод решения СЛУ, с помощью формул Крамера, методом Гаусса.

Раздел 2. Элементы аналитической геометрии.

2.1. Векторы;

Вопросы:

2.1.1. Линейное векторное пространства;

2.1.2. Скалярное произведение. Длина вектора. Угол межу векторами.

2.1.1. Линейное векторное пространство.

Определение 1. Упорядоченная совокупность из n действительных чисел (а1, а2, …, аn) называется n-мерным вектором ā(а1, а2, …, аn). Числа а1, а2, ..., аn называются координатами вектора.

Два n-мерных вектора

(а1, а2, …, аn) и
(b1, b2, …, bn) считаются равными, если равны их соответствующие координаты:

, (
).

Вектор, все координаты которого равны нулю, называется ноль-вектором и обозначается

.

Пример.

(3; 1/2; 0,7; -2; 0) - пятимерный вектор.

Определение 2. Суммой (разностью) двух n-мерных векторов

(а1, а2, …, аn) и
(b1, b2, …, bn) называется n-мерный вектор, координаты которого равны суммам (разностям) соответствующих координат исходных векторов:

=(a1
b1; a2
b2; …; an
bn).

Определение 3. Произведением n-мерного вектора

(а1, а2, …, аn) на число k называется n‑мерный вектор, координаты которого равны произведениям координат вектора
на число k: k ·
=(ka1; ka2; …; kan).

Свойства операций над векторами:

1)

+
=
+
- коммутативность,

2)

+(
+
)=(
+
)+
- ассоциативность,

3) k·(

)=
- дистрибутивность,

4) (k1

k2
= k1 ·
k2·
,

5) (k1·k2

=k1·(k2·
),

6) 1·

=
,

7) 0·

=
,

8) k·

=
,

Определение 4. Совокупность всех n-мерных векторов с введенными на ней операциями сложения и умножения на число называется n-мерным линейным векторным пространством и обозначается En.

Пример.E2 - совокупность всех двухмерных векторов плоскости с обычными операциями сложения и умножения векторов.

2.1.2. Скалярное произведение.

Длина вектора. Угол между векторами.

Определение 1. Скалярным произведением двух n-мерных векторов

(а1, а2, ..., аn) и
(b1, b2, ..., bn) называется число, равное сумме попарных произведений соответствующих координат.

·
=а1·b1+a2·b2+…+an·bn.

Свойства скалярного произведения:

1.

·
=
·
- коммутативность;

2.

·(
+
)=
·
+
·
- дистрибутивность;