2) Якщо інтегральний множник є функцією тільки від : , то , а .
Тоді рівняння (12.31) можна подати таким чином:
(12.33)
Якщо вираз справа залежить лише від , рівняння (12.33) інтегрується.
Приклад 2. Розв’язати рівняння . Зауважимо, що в розглянутому випадку .
Р о з в ’ я з о к. Знайшовши частинні похідні
переконуємося, що умова (12.26) не виконується.
Спробуємо підібрати інтегральний множник виду . Рівняння (12.32) набуває вигляду
.
Вираз у правій частині останньої рівності залежить і від , і від . Отже, інтегрального множника вигляду не існує.
Припустимо, що , і складемо рівняння (12.33):
.
Оскільки вираз у правій частині цієї рівності залежить від , рівняння інтегрується. Знайдемо один з його частинних розв’язків:
, звідки . Перевіримо, чи множник знайдено правильно. Для цього домножимо обидві частини вихідного рівняння на та переконаємося, що коефіцієнти отриманого рівняння задовольнятимуть умові (12.26). Маємо
.
Тоді
і, отже, інтегральний множник було знайдено правильно (оскільки (12.26) – рівняння в повних диференціалах). Знайдемо функцію . Оскільки
то , або
.
Продиференціюємо по та прирівняємо цю похідну до :
.
Отже, і .
Тоді
,
і загальний інтеграл рівняння має вигляд