Пошукова робота на тему:
Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі).
План
12.2. Рівняння з відокремленими
й відокремлюваними змінними
Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку
(12.1)
праву частину можна подати у вигляді
то (за умови, що ) це рівняння можна записати так:
(12.2)
Розглядаючи цю рівність як рівність двох диференціалів та інтегруючи зліва за , а справа за , отримаємо
(12.3)
Це співвідношення є загальним інтегралом рівняння (12.1).
Диференціальне рівняння першого порядку типу (12.2), в якому при диференціалах та стоять відповідно функції, залежні тільки від чи тільки від , називається диференціальним рівнянням звідокремленими змінними.
Диференціальне рівняння вигляду
(12.4)
називається рівнянням з відокремлюваними змінними.
Справді, якщо , то змінні відокремлюються діленням обох частин рівняння (12.4) на . Маємо
і, отже, загальний інтеграл рівняння, за аналогією з (12.2), має вигляд
.
\Приклад 1. Нехай осіб зацікавлені в одержані інформації про новини технології у деякій галузі знань. Нехай в момент часу інформація відома особам. Для прискорення поширення інформації в момент часу було дано оголошення (наприклад, по радіо). Далі інформація поширюється при спілкуванні людей між собою. Можна вважати, що після оголошення швидкість зміни кількості тих, хто знає про технологічні новини, пропорційна як числу тих, хто знає, так і кількості
тих, хто не знає. Припускаючи, що в момент часу про новину дізналося чоловік, приходимо до диференціального рівняння
(12.5)
з початковою умовою ( - коефіцієнт пропорціональності).
Це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Подамо його у вигляді
.
Загальний інтеграл рівняння
(12.6)
Знайдемо інтеграл у лівій частині рівності (12.6):
(Зауважимо, що ). Загальний інтеграл (12.6) має форму
.
Звідси знаходимо загальний розв’язок :
(12.7)
Для отримання розв’язку задачі Коші покладемо в рівності (12.7) та визначимо довільну сталу (у даному
прикладі зручно шукати не , а ) . Маємо , звідки
(12.8)
Підставимо вираз (12.8) у загальний розв’язок (12.7) і спростимо результат. Отримаємо шуканий частинний розв’язок:
. (12.9)
Його графіком є так звана логістична крива (рис.12.1).
Рис.12.1
Приклад 2 . Нехай відомо, що швидкість хімічної реакції, яка перетворює речовину на речовину , пропорційна добуткові концентрації цих речовин.
Потрібно скласти диференціальне рівняння залежності об’єму речовини від часу .
Нехай об’єм речовини , що бере участь в реакції, дорівнює . Тоді загальний об’єм . Приріст у разі переходу речовини в речовину має вигляд: , а швидкість реакції буде . Згідно з умовою
(12.10)
(коефіцієнт пропорційності), оскільки та - концентрації речовин та Враховуючи, що рівняння (12.10) запишемо у вигляді
або
(12.11)
де .
Цікаво відзначити, що рівняння (12.11) збігалося з рівнянням (12.5). Вперше таке рівняння використано у 1845 р. і названо як рівняння Ферхольста - Перла, застосовувалось воно для опису динаміки чисельності популяції в біології. Зауважимо, що такий самий вигляд мають рівняння інших процесів – наприклад, попиту на сезонні масові послуги на підприємствах побутового обслуговування, а також випаровування вологи з пористої речовини тощо.
Розглянемо диференціальне рівняння виду . Виявляється, що це рівняння також описує зовсім різні явища, процеси: при отримуємо закон органічного росту, при - рівняння процесу радіоактивного розпаду, залежності атмосферного тиску від висоти, процесу розряду конденсатора через опір й ін.
12.3. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку і рівняння, що зводяться до однорідних
Рівняння першого порядку
називається однорідним відносно та , якщо для будь-якого справедлива тотожність
.
Приклад 1. Рівняння є однорідним, бо
.
Однорідні диференціальні рівняння першого порядку зводяться до рівнянь з відокремлюваними змінними за допомогою підстановки Тоді (тут покладено ). Змінні відокремлюються, оскільки після підстановки в рівняння дістанемо
,
звідки
.
Інтегруючи це рівняння й повертаючись від змінної до змінної , отримуємо загальний розв’язок однорідного рівняння.
Прикладі 2. Розв’язати рівняння .
Р о з в ‘ я з о к. Це рівняння однорідне. Виконаємо у цьому рівнянні заміну залежної змінної Тоді
.
Відокремлюючи змінні, одержуємо: , звідки
.
Отже, загальний розв’язок рівняння має вигляд .
Приклад 3. Покажемо, як розв’язується рівняння, наведене в прикладі 3, за допомогою полярних координат.
Перейдемо до нових змінних та за формулами
.
Звідси
Отже,
.
Права частина рівняння у нових координатах набуває вигляду
Прирівнюючи праву і ліву частини рівняння, дістанемо
.
На основі властивості пропорції позбудемося дробів:
Спрощуючи це рівняння, отримаємо
.
Відокремлюємо змінні
.
Інтегруємо
.
(довільну сталу позначили як ) . Звідси .
Повернемось до старих змінних та й спростимо вираз. Отримаємо шуканий загальний інтеграл
або .
Зауваження. До однорідних рівнянь зводяться диференціальні рівняння вигляду
(12.12)
1. У разі, коли , слід виконати заміну змінних, де і - сталі, підібрані таким чином, щоб рівняння (12.12) перетворилося на однорідне рівняння вигляду
.
Оскільки та ,
сталі і слід підібрати так, щоб виконувались рівняння
Ця система має єдиний розв’язок (згідно з умовою ).
2. Якщо , то , оскільки , та . В цьому разі рівняння (12.12) подамо у вигляді
. (12.13)
Якщо в цьому рівнянні виконати заміну змінної за формулою , то рівняння (12.13) перетвориться у диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Справді, маємо і , отже, .
Перейшовши до нової змінної у рівнянні (12.13), одержимо рівняння
,
у якому змінні легко відокремлюються.
Приклад 4. Розв’язати рівняння
.
Р о з в ‘ я з о к. Це - диференціальне рівняння вигляду (12.13). Перевіримо, чи виконується для нього нерівність . Отже, в цьому рівнянні слід виконати заміну змінних та за формулами . Підставимо нові змінні у вихідне рівняння:
.
Для визначення і отримаємо алгебраїчну систему двох лінійних рівнянь
головний визначник якої дорівнює і, отже, система має єдиний розв’язок:, . Це дозволяє виконати заміну змінних і: ,
в результаті якої отримуємо однорідне рівняння . Виконаємо в цьому рівнянні заміну змінної за формулою . Маємо .
Відокремлюємо змінні та :
.
Загальний інтеграл цього рівняння має вигляд
або
.
Враховуючи виконані заміни змінних, маємо:
.
Отже, загальний інтеграл вихідного рівняння
або, після спрощень,
.
12.4. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
Лінійними диференціальними рівняннями першого порядку називається рівняння, лінійне відносно невідомої функції та її похідної:
(12.14)
де - задані неперервні функції від .
Якщо, зокрема, , то рівняння
(12.15)
називається лінійним однорідним (або без правої частини), а рівняння (12.14), в якому - неоднорідним.
Однорідне рівняння (12.15) – це диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Відокремлюємо змінні:
.
Загальний інтеграл рівняння
,
а загальний розв’язок однорідного рівняння (12.15)
(12.16)
Щоб відшукати загальний розв’язок рівняння (12.14), використаємо так званий метод варіації довільної сталої Лагранжа. Суть його полягає в тому, що розв’язок рівняння (12.14) шукатимемо у вигляді, аналогічному (12.16), але вважатимемо у цій формулі не сталою, а невідомою функцією від :
(12.17)
Підставимо (12.17) у рівняння (12.14):
,
або
З останнього рівняння знаходимо :
, (12.18)
де - довільна стала. Отже враховуючи (12.18), загальний розв’язок (12.17) рівняння (12.14) набуває вигляду
(12.19)
Зауваження. Метод варіації довільної сталої для рівняння (12.14) можна реалізувати на практиці таким чином.
Розв’язок рівняння (12.14) шукаємо у вигляді добутку двох невідомих функцій :
(12.20)
Знайдемо похідну
(12.21)
У результаті підстановки функції (12.20) та похідної від неї (12.21) у рівняння (12.14) отримаємо
або
(12.22)
Оскільки функцію можна підібрати довільно (а тоді визначити на основі рівняння (12.14), будемо шукати з рівняння