Рівняння (3) називається рівнянням показового росту. Воно має такий зміст: для кожного значення аргументу, швидкість зміни функції пропорційно значенню даної функції.
Для того, щоб знайти розв’язки рівняння (3), можна поступити наступним чином. Нехай y(x)- деякий розв’язок, це означає, що y’(x) – ky(x)= 0 вірно. Помноживши обидві частини рівності на відмінний від 0 множник e-kx, отримаємо вірну рівність
e-kx y’(x) – e-kx ky(x) = 0 (4)
Так як (e-kxy(x))’ = e-kxy’(x) – ke-kxy(x), то рівність (4) можна записати так
(e-kx y(x))’ = 0,
звідки e-kx y(x) = C, або
y(x)=Cekx, (5)
де C – деяка довільна постійна.
Отже, тільки функції вигляду (5) можуть бути розв’язками рівняння показового росту (3). Безпосередня підстановка в рівняння (3) показує, що при будь-якій постійній Cфункція (5) є розв’язком рівняння (3). Таким чином, формула (5) визначає множину розв’язків рівняння (3).
Для того, щоб із знайденої множини розв’язків (5) відокремити визначене, потрібно знати константу C. Для цього потрібні додаткові умови – так названі початкові умови; в даному випадку достатньо знати значення шуканої функції при деякому значенні аргументу:
y(x0)=y0(6)
Підставивши початкову умову (6) в розв’язок рівняння (5), знайдемо y0=Cekx0, звідки C=y0e-kx0. Підставивши це значення Cв формулу (5), отримаємо розв’язок рівняння показового росту, яке задовольняє задано ній початковій умові (6):
y(x) = y0ek(x-x0). (7)
Ми бачимо, що постійна C по початковій умові (6) визначається однозначно; ось чому розв’язок (7), який задовольняє даній початковій умові буде єдиним.
Приклад. Розв’язати рівняння y’(x) = 3y(x), якщо y(0) = 2.
Тут k=3, x0=0, y0=2; розв’язання можна записати за формулою (7): y(x)=2e3x. Це буде єдиний розв’язок, задовольняючий заданій початковій умові.
Розглянемо деякі прикладення рівняння (3). При розв’язування задач потрібно спочатку скласти диференціальне рівняння, указати початкову умову, а потім розв’язати рівняння. При складанні рівняння звичайно використовують відомі з курсів фізики та хімії закони.
1. Швидкість прямолінійного руху.
З другого закону Ньютона
(8)
де a – це прискорення руху матеріальної точки маси m, F– результуюча всіх сил діючих на матеріальну точку.
Швидкість руху v(t) і прискорення a(t) являються функціями від часу t, також, як відомоv’(t) = a(t). Помітимо, що дії над векторами, які проведені вздовж однієї прямої, на якій вибрано додатній напрям можна замінити на дії над їхніми проекціями на цю ж саму пряму. Таким чином, у випадку руху матеріальної точки вздовж осі Ox рівність (8) може бути заміненим рівністю
mv’(t) = F,(9)
де через v’(t) і F позначені відповідно проекції векторів і на цю ось. Рівняння (9) описує також і поступальний рух тіла. Такий рух можна розглядати як рух матеріальної точки, яка розташована в центрі мас тіла, під дією сил, прикладених до центру мас.
Задача. Моторний човен рухається в стоячій воді зі швидкістю 5 м/с. На повному ходу її мотор був вимкнутий; через 4 с її швидкість стала рівної 1 м/с. Вважаючи, що сила опору води пропорційна швидкості руху човна, визначити, через скільки секунд після вимкнення мотора швидкість зменшиться до 4 см/с?
Розв’язання. Будемо вважати, що човен рухається прямолінійно. Направимо ось Ох вздовж руху човна. Позначимо через v(t) швидкість руху човна в момент часу t після вимкнення мотора. В момент вимкнення мотора (t=0) швидкість, за умовою, дорівнює 5 м/с, або
v (0) =5. (10)
Це – початкова умова задачі. Складемо диференційне рівняння. Нехай маса човна дорівнює m. За умовою, на рухаючийся човен діє сила F=- k1v(t), де k1>0 (знак мінус вказує на те, що сила опору води направлена проти швидкості руху човна). Підставивши це значення F в рівняння (9) і позначивши m k1 = k, отримаємо диференціальне рівняння
v’(t)=- kv(t), k>0,
аналогічно рівнянню (3). За формулою (7) знайдемо його розв’язок при початковій умові (10):
.
Використовуючи додаткову умову v(4)=1 м/с, знайдемо
ось чому - це закон зміни швидкості руху човна після зупинки мотору. Для відповіді на питання потрібно розв’язати рівняння v(t)=0,04 відносно t. Розв’язавши його отримаємо, що t=12с.
2. Радіоактивний розпад.
З фізики відомо, що кількість атомів радіоактивної речовини, що розпадаються в одиницю часу, складає постійну частину від кількості нерозпавшихся атомів. Для кожного вигляду радіоактивної речовини ця постійна частина своя, вона називається постійної розпаду і позначається через. Іншими словами: швидкість розпаду атомів радіоактивної речовини пропорційна кількості нерозпавшихся атомів, а саме
(11)
Де М (t)- кількість нерозпавшихся радіоактивних атомів речовини в момент часу t, М' (t) - швидкість їхнього розпаду. Бо з плином часу кількість нерозпавшихся атомів зменшується, те похідна М' (t) від’ємна. Рівняння (11) є диференційним рівнянням, аналогічним диференційному рівнянню показового зростання (3). Враховуючи зв'язок між числом ядер і масою радіоактивної речовини, будемо говорити просто про розпад радіоактивної речовини.
Задача. Є М0 радіоактивної речовини. Якщо за 30 років розпадається 50% його, те через скільки часу залишиться 25% первісної кількості?
Розв’язання. Позначимо через M (t) кількість радіоактивної речовини в момент часу t. Тоді
M (0) =M0 (12)
Це – початкова умова задачі. Розв’язавши рівняння (11) при початковій умові (12) отримаємо
(13)
Прийнявши до уваги, що M(30)=M0/2, з формули (13) знайдемо
За допомогою нескладних обчислень отримаємо, що відповідь 60 років.
3. Поглинання світла
При проходженні світла через воду (або скло) деяка його частина поглинається. Нехай на поверхню води перпендикулярно до неї падає світло з інтенсивністю A0, інтенсивність світла на глибині х позначимо через А (х). Похідна А' (х) – швидкість поглинання світла на глибині х. З оптики відомо, що для таких серед, як вода або скло, швидкість поглинання світла на глибині х пропорційної інтенсивності світла на цій глибині, а саме
(14)
Так як інтенсивність світла А (х) з збільшенням глибини х зменшується, то похідна А'(х) від’ємна. Рівняння (14) є диференційним рівнянням типу (3) відносно функції А (х).
Задача. Десятиметровий шар води поглинає 40% світла ,що падає на її поверхню. На якій глибині денне світло буде по яскравості таким же, як місячне світло на поверхні води, якщо яскравість місячного світла складає яскравості денного світла?
Розв’язання. Початкова умова задачі має вигляд
A(0)=A0(15)
Записавши розв’язання рівняння (14) при початковій умові (15) по формулі (5), отримаємо A(x)=A0e-kx; звідки, використовуючи додаткову умову A(10) = 0,6A0, знайдемо
Закон поглинання світла матиме вигляд
Для визначення в задачі глибини х отримаємо рівняння
звідки х247 м.
4. Концентрація розчину.
Задача. Є судина ємністю а л, наповнений водним розчином солі. В судину вливається вода зі швидкістю b л в хвилину, перемішується, і розчин ,що одержується однорідної концентрації виходить з судини з тією ж швидкістю. Скільки солі буде міститися в розчині в момент часу t, якщо в початковий момент(t=0) її було в розчині A0 кг? Обчислити відповідь, якщо а=100 л, A0=10 кг, b=3 л в хвилину, t=1 година.
Розв’язання. Позначимо через A (t) кількість солі в розчині в момент часу t. Концентрація розчину в цей момент часу буде рівна A (t)/a. Зміна кількості солі в розчині в одиницю часу дорівнює різниці між кількістю солі, що надходить в судину і що виходить з неї. Але сіль в судину не надходить, а виходить з нього в одиницю часу bA (t)/a. Тому швидкість А' (t) зміни кількості солі в розчині дорівнює
(16)
Знак мінус вказує на зменшення кількості солі у розчині. Маємо диференціальне рівняння типу (3) з початковою умовою
А(0) = А0(17)
Записавши розв’язок рівняння (16) при початковій умові (17) за формулою (7), отримаємоA(t)=A0e-bt/a. Враховуючи числові дані задачі, знайдемо A(60)1,654 кг.
II. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку.
Подібно тому, як в алгебрі виникає поняття ступеню алгебраїчного рівняння, в аналізі виникає поняття порядку диференційного рівняння.
Якщо диференційне рівняння містить лише першу похідну цієї функції, те воно називається диференційним рівнянням першого порядку. З диференційних рівнянь першого порядку для додатків велике значення мають рівняння вигляду
y’ (x) +p (x) y (x) =q (x),(19)
Де р(x) і q(x) — деякі безперервні функції; в а саме, вони можуть бути постійними. Це рівняння лінійне відносно цієї функції і її похідної. Такі рівняння називаються лінійними диференційнимирівняннями. При q(x) = 0 рівняння (18) має вигляд
y’(x)+p(x)y(x)=0 (20)
Позначимо через v(х) одну з первісних функції р(х) і умножимо обидві частини рівності (20) на відмінний від нуля множник еv(x). Помітивши, що