Реферат
на тему:
Аналітична геометрія
в просторі
Аналітична геометрія в просторі
Загальне рівняння площини в тривимірному просторі, яка проходить через точку (x0;y0;z0) перпендикулярно до вектора має вигляд
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0) (2.7)
або
Ax+By+Cz=0 (2.8)
Спеціальними площинами є площини OXY (рівняння z=0), OXZ (рівняння y=0) та OYZ (рівняння x=0).
Рівняння площини, яка проходить через три задані точки (x0;y0;z0), (x1;y1;z1), (x2;y2;z2) (якщо ці точки не лежать на одній прямій), є таким:
(2.9)
Приклад. Записати рівняння площини, яка проходить через точки M0(1;2;3), M1(2;1;2) та M3(3;3;1).
Маємо ,
звідки x+4y-4=0.
Рівняння площини у відрізках є таким:
. (2.10)
Ця площина проходить через точки (a;0;0), (o;b;0) та (0;0;c).
Приклад. Ціни за одиницю кожного з трьох товарів становлять, відповідно, 2, 3 та 4 умовні одиниці. Бюджет споживача дорівнює 120 умовних одиниць. Зобразити графічно бюджетне обмеження цього споживача.
Нехай споживач на всі гроші купив x одиниць першого товару, y одиниць другого та z одиниць третього. Тоді виконується рівність
2x+3y+4z=120.
Ми отримали бюджетне обмеження споживача як загальне рівняння площини.
Зручніше записати це обмеження у вигляді рівняння площини у відрізках (виконавши ділення на 120):
.
`Отже, споживач може купити або тільки 60 одиниць першого товару, або тільки 40 другого, або тільки 30 третього, а також може перебувати в довільній іншій точці площин за умов x³0; y³0; z³0 (рис .2.10).
z
Бюджетне обмеження –
частина площини в просторі
30
40
y
60
x
Рис. 2.10.
Якщо ж витрачають не всі гроші, то бюджетне обмеження буде тетраедром:
.
Розглянемо випадок, коли споживач зовсім не купує третього товару (z =0). Тоді бюджетне обмеження представлятиме собою відрізок прямої на площині
,
або множину точок всередині трикутника (рис. 2.11)
.
y
Бюджетне обмеження -
40 відрізок прямої на площині
60 x
Рис. 2.11.
Рівняння прямої у тривимірному просторі також записується багатьма способами.
Пряму як перетин двох площин задають системою лінійних рівнянь
. (2.11)
Симетричне (канонічне) рівняння прямої, що проходить через точку (x0;y0;z0) паралельно до напрямного вектора , має вигляд
. (2.12)
Параметричне рівняння прямої є таким:
. (2.13)
Рівняння прямої в просторі, яка проходить через дві точки (x1;y1;z1) та (x2;y2;z2) , є подібним до рівняння прямої на площині:
. (2.14)
Приклад. Пряма в просторі проходить через дві точки: M1(1;2;3) та M2(4;6;8) . Рівнянням цієї прямої згідно (2.14) є рівняння
.
Виконавши операції віднімання, отримуємо канонічне рівняння
.
Від останнього рівняння перейдемо до параметричного задання прямої (формула 2.13): .
У тривимірному просторі справджуються такі формули для кутів:
кут між двома прямими та
обчислюється згідно з формулою ;
кут між прямою та площиною Ax+By+Cz+D=0 знаходиться за формулою .