3. Визначити, при яких
система рівняньмає точно два розв’язки.
Розв’язання. Перепишемо систему рівнянь у вигляді
Перше рівняння визначає гомотетичні кола (з центром гомотетії (0,0) та радіусом
). Друге рівняння - об’єднання двох прямих: , . Побудуємо прямі та кола на графіку.Рис.1.3.3
Система буде мати точно 2 розв’язки, коли коло дотикається двох прямих. Знайдемо параметр
. З гіпотенуза , . З , тоді , . Остаточно знаходимо . Відповідь: .4. Для кожного від’ємного числа
розв’язати нерівність .Розв’язання. Перепишемо нерівність у вигляді
. Побудуємо графіки та . Членами сім’ї функцій є гомотетичні півкола (центр гомотетії - точка (0,0)). З нерівності випливає, що півкола повинні лежати вище прямої .Кутовий коефіцієнт прямої
дорівнює -2. Тоді , , із : , .Рис.1.3.4
, звідки , .Розв’язком нерівності для кожного від’ємного числа
буде проміжок . Відповідь: .5. Скільки розв’язків в залежності від
має рівняння .Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді
. Побудуємо графіки функцій (гомотетичні кути з вершиною в точці (2,0)) та . При графіки наведені на рисунку 1.3.5Рис.1.3.5
З рис.1.3.5 видно, що при
спільних точок графіки не мають, рівняння розв’язків немає.При
графіки та наведені на рисунку 1.3.6.З рис.1.3.6 видно, що при
, - 1 розв’язок;при
- 2 точки перетину графіків (2 розв’язки);при
- 3 точки перетину графіків (3 розв’язки);при
- 4 точки перетину графіків (4 розв’язки).Рис.1.3.6
Відповідь: при
, - 1 розв’язок; при - 2 розв’язки; при - 3 розв’язки; при - 4 розв’язки.6. При яких значеннях
криві та мають тільки одну спільну точку?Розв’язання. Необхідно розв’язати рівняння
або . Побудуємо графіки функцій (гомотетичні вітки парабол з центром гомотетії (0,0)) та . ОДЗ рівняння: .При
маємо 1 розв’язок.Розглянемо випадок дотику двох графіків.
Запишемо рівняння дотичних до кожного з графіків в точці
: , звідси .Підставляємо
в рівняння , тоді , .Рис.1.3.7
Відповідь:
або .7. При яких значеннях параметра
рівняння має єдиний розв’язок, більше одного розв’язку, немає розв’язків?Розв’язання. Побудуємо графіки функцій
та .Рис.1.3.8
Розв’яжемо рівняння на проміжку
для того, щоб знайти точку дотику функцій.Якщо
, то , , при .