Смекни!
smekni.com

Графічні методи розвязування задач із параметрами (стр. 10 из 22)

3. Визначити, при яких

система рівнянь

має точно два розв’язки.

Розв’язання. Перепишемо систему рівнянь у вигляді

Перше рівняння визначає гомотетичні кола (з центром гомотетії (0,0) та радіусом

). Друге рівняння - об’єднання двох прямих:
,
. Побудуємо прямі та кола на графіку.

Рис.1.3.3

Система буде мати точно 2 розв’язки, коли коло дотикається двох прямих. Знайдемо параметр

. З
гіпотенуза
,
. З
, тоді
,
. Остаточно знаходимо
. Відповідь:
.

4. Для кожного від’ємного числа

розв’язати нерівність
.

Розв’язання. Перепишемо нерівність у вигляді

. Побудуємо графіки
та
. Членами сім’ї функцій
є гомотетичні півкола (центр гомотетії - точка (0,0)). З нерівності випливає, що півкола повинні лежати вище прямої
.

Кутовий коефіцієнт прямої

дорівнює -2. Тоді
,
, із
:
,
.

Рис.1.3.4

, звідки

,
.

Розв’язком нерівності для кожного від’ємного числа

буде проміжок
. Відповідь:
.

5. Скільки розв’язків в залежності від

має рівняння
.

Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді

. Побудуємо графіки функцій
(гомотетичні кути з вершиною в точці (2,0)) та
. При
графіки наведені на рисунку 1.3.5

Рис.1.3.5

З рис.1.3.5 видно, що при

спільних точок графіки не мають, рівняння розв’язків немає.

При

графіки
та
наведені на рисунку 1.3.6.

З рис.1.3.6 видно, що при

,
- 1 розв’язок;

при

- 2 точки перетину графіків (2 розв’язки);

при

- 3 точки перетину графіків (3 розв’язки);

при

- 4 точки перетину графіків (4 розв’язки).

Рис.1.3.6

Відповідь: при

,
- 1 розв’язок; при
- 2 розв’язки; при
- 3 розв’язки; при
- 4 розв’язки.

6. При яких значеннях

криві
та
мають тільки одну спільну точку?

Розв’язання. Необхідно розв’язати рівняння

або
. Побудуємо графіки функцій
(гомотетичні вітки парабол з центром гомотетії (0,0)) та
. ОДЗ рівняння:
.

При

маємо 1 розв’язок.

Розглянемо випадок дотику двох графіків.

Запишемо рівняння дотичних до кожного з графіків в точці

:

, звідси
.

Підставляємо

в рівняння
, тоді
,
.

Рис.1.3.7

Відповідь:

або
.

7. При яких значеннях параметра

рівняння
має єдиний розв’язок, більше одного розв’язку, немає розв’язків?

Розв’язання. Побудуємо графіки функцій

та
.

Рис.1.3.8

Розв’яжемо рівняння на проміжку

для того, щоб знайти точку дотику функцій.

Якщо

, то
,
, при
.