Графічні методи розвязування задач із параметрами (стр. 11 из 22)

Таким чином, при

- 1 розв’язок, при - точки перетину графіків є (більше одного розв’язку), при - немає точок перетину графіків (немає розв’язків).

Відповідь: при

- 1 розв’язок, при - більше одного розв’язку, при немає розв’язків.

Задачі для самостійної роботи

1. При яких с система має хоча б один розв’язок?

Розв’язання. Спростимо нерівність системи. Маємо

. Нехай . Тоді . Звідси з урахуванням того, що , одержимо . Запишемо , тобто . Таким чином, початкова система рівносильна такій:

Графіком першої нерівності цієї системи є півплощина з межею

(рис.1.3.9).

Рис.1.3.9

Очевидно система може мати розв’язки, якщо

. Тоді рівняння

х ² + у ² = с задає сім’ю гомотетичних кіл з центром в точці О (0; 0). Рисунок підказує, що якщо радіус кола не менше довжини відрізка ОМ, тобто відстань від точки О до межі півплощини, то система має розв’язки. Маємо

. З . Звідси

.

Відповідь:

.

2. Скільки розв’язків має система в залежності від параметра а?

Розв’язання. При

система розв’язків не має. При фіксованому графіком першого рівняння є квадрат з вершинами (а; 0), (0; - а), (-а; 0), (0; а). Таким чином, членами сім’ї є гомотетичні квадрати (центр гомотетії - точка О (0; 0)).

Якщо квадрат (рис.1.3.10) знаходиться в колі

система розв’язків не має.

Рис.1.3.10

Зі збільшенням а (квадрат "роздувається") розв’язки з’являються лише в той момент, коли квадрат буде вписаним в коло. В цьому випадку (а = 1) розв’язків буде чотири. Далі, при

кожна сторона квадрата має дві спільні точки з колом, тоді система буде мати вісім розв’язків. При коло буде вписане в квадрат, тобто розв’язків стане знов чотири. Очевидно при система розв’язків не має.

Відповідь: якщо

або , то немає розв’язків; якщо або , то розв’язків чотири; якщо , то розв’язків вісім.

3. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких рівняння

має рівно вісім розв’язків.

Розв’язання. Маємо

, де . Розглянемо функції та . Перша з них задає сім’ю гомотетичних півкіл з центром в О (0; 0), друга - сім’ю прямих, паралельних вісі абсцис.

З рис.1.3.11 видно, що зі збільшенням радіуса

півкола зростає число коренів початкового рівняння. Їх буде рівно вісім, якщо .

Рис.1.3.11

Зауважимо, що а не є радіусом півкола, т. як

.

Відповідь:

або .

4. Знайти всі а, при яких системи рівносильні.

та

Розв’язання. Перепишемо першу систему в виді

де

Перше рівняння системи задає сім’ю паралельних прямих, зображену на рис.1.3.12. Для випадку а > 0 друге рівняння системи задає сім’ю кіл.

Всі розв’язки другої з початкових систем містяться серед розв’язків першої.

Обернена вимога виконується лише тоді, коли кола

мають спільні точки тільки з прямою

. Відстань між сусідніми прямими дорівнює , тому для радіуса кола знаходимо обмеження . Звідси .

Рис.1.3.12

Оскільки ми розглядаємо випадок а > 0, то значення а = 0 потребує перевірки. Очевидно воно підходить. При а < 0 початкові системи розв’язків не мають, а значить, вони рівносильні.

Відповідь:

.

5. При яких додатних значеннях параметрів а та

системи рівнянь

та

мають однакове число розв’язків?

Розв’язання. Друга система задає сім’ю паралельних прямих

, та сім’ю гомотетичних кіл з центром О_{1 (}1;

1) (рис.1.3.13). Оскільки за умовою

, то , і система має не менше чотирьох розв’язків. Очевидно такою ж властивістю володіє перша з початкових систем.

Рис.1.3.13

Вона рівносильна сукупності наступних двох систем:

або

Оскільки а > 0, то сім’я паралельних прямих

(рис.1.3.13) перетинає графік лише в одній точці, а значить, перша система сукупності має тільки один розв’язок. Друга система може мати не більше трьох розв’язків (рис.1.3.14). Тому ми вимагаємо від цієї системи мати рівно три розв’язки.