Таким чином, при
- 1 розв’язок, при - точки перетину графіків є (більше одного розв’язку), при - немає точок перетину графіків (немає розв’язків).Відповідь: при
- 1 розв’язок, при - більше одного розв’язку, при немає розв’язків.Задачі для самостійної роботи
1. При яких с система має хоча б один розв’язок?
Розв’язання. Спростимо нерівність системи. Маємо
. Нехай . Тоді . Звідси з урахуванням того, що , одержимо . Запишемо , тобто . Таким чином, початкова система рівносильна такій:Графіком першої нерівності цієї системи є півплощина з межею
(рис.1.3.9).Рис.1.3.9
Очевидно система може мати розв’язки, якщо
. Тоді рівняннях 2 + у 2 = с задає сім’ю гомотетичних кіл з центром в точці О (0; 0). Рисунок підказує, що якщо радіус кола не менше довжини відрізка ОМ, тобто відстань від точки О до межі півплощини, то система має розв’язки. Маємо
. З . Звідси .Відповідь: .
2. Скільки розв’язків має система в залежності від параметра а?
Розв’язання. При
система розв’язків не має. При фіксованому графіком першого рівняння є квадрат з вершинами (а; 0), (0; - а), (-а; 0), (0; а). Таким чином, членами сім’ї є гомотетичні квадрати (центр гомотетії - точка О (0; 0)).Якщо квадрат (рис.1.3.10) знаходиться в колі
система розв’язків не має.Рис.1.3.10
Зі збільшенням а (квадрат "роздувається") розв’язки з’являються лише в той момент, коли квадрат буде вписаним в коло. В цьому випадку (а = 1) розв’язків буде чотири. Далі, при
кожна сторона квадрата має дві спільні точки з колом, тоді система буде мати вісім розв’язків. При коло буде вписане в квадрат, тобто розв’язків стане знов чотири. Очевидно при система розв’язків не має.Відповідь: якщо
або , то немає розв’язків; якщо або , то розв’язків чотири; якщо , то розв’язків вісім.3. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких рівняння
має рівно вісім розв’язків.Розв’язання. Маємо
, де . Розглянемо функції та . Перша з них задає сім’ю гомотетичних півкіл з центром в О (0; 0), друга - сім’ю прямих, паралельних вісі абсцис.З рис.1.3.11 видно, що зі збільшенням радіуса
півкола зростає число коренів початкового рівняння. Їх буде рівно вісім, якщо .Рис.1.3.11
Зауважимо, що а не є радіусом півкола, т. як
.Відповідь:
або .4. Знайти всі а, при яких системи рівносильні.
таРозв’язання. Перепишемо першу систему в виді де
Перше рівняння системи задає сім’ю паралельних прямих, зображену на рис.1.3.12. Для випадку а > 0 друге рівняння системи задає сім’ю кіл.
Всі розв’язки другої з початкових систем містяться серед розв’язків першої.
Обернена вимога виконується лише тоді, коли кола мають спільні точки тільки з прямою
. Відстань між сусідніми прямими дорівнює , тому для радіуса кола знаходимо обмеження . Звідси .Рис.1.3.12
Оскільки ми розглядаємо випадок а > 0, то значення а = 0 потребує перевірки. Очевидно воно підходить. При а < 0 початкові системи розв’язків не мають, а значить, вони рівносильні.
Відповідь: .
5. При яких додатних значеннях параметрів а та
системи рівнянь тамають однакове число розв’язків?
Розв’язання. Друга система задає сім’ю паралельних прямих
, та сім’ю гомотетичних кіл з центром О1 (1;1) (рис.1.3.13). Оскільки за умовою
, то , і система має не менше чотирьох розв’язків. Очевидно такою ж властивістю володіє перша з початкових систем.Рис.1.3.13
Вона рівносильна сукупності наступних двох систем:
абоОскільки а > 0, то сім’я паралельних прямих
(рис.1.3.13) перетинає графік лише в одній точці, а значить, перша система сукупності має тільки один розв’язок. Друга система може мати не більше трьох розв’язків (рис.1.3.14). Тому ми вимагаємо від цієї системи мати рівно три розв’язки.