Графічні методи розвязування задач із параметрами (стр. 12 из 22)
Рис.1.3.14
Остання умова досягається тоді, коли прямі
будуть перетинати криву 
, в двох точках. Для цього необхідно і достатньо, щоб рівняння 
при а > 0 мало два кореня, тобто дискримінант квадратного рівняння 
повинен бути додатним. Маємо 
. Звідси для а > 0 знаходимо 
Тепер залишилося з’ясувати, при яких а друга з даних в умові систем має рівно чотири розв’язки. Розглянемо точку
(рис.1.3.13). Якщо радіус кола буде більше або дорівнює О1М, то система очевидно буде мати більше чотирьох розв’язків. Тоді знаходимо 
, тобто при а > 0 маємо 
.Тепер визначимо при яких
. Легко встановлюємо, що 
.Відповідь: якщо
, то 
; при інших b вимоги задачі не виконуються.Зауваження. При фіксованому
крива 
- результат стиску до вісі абсцис кривої 
в 
раз. (Іноді для випадку 
говорять, що крива розтягується від вісі)6. При кожному фіксованому значенні параметра а розв’язати рівняння 
.
Розв’язання. Розглянемо функції 
и 
. На рис.1.3.15 побудовані графік першої з них, а також графіки шести представників сім’ї прямих
відповідно для випадків 
(Для а = 0 маємо вісь абсцис) Одержаний графічний образ дає повну інформацію про Розв’язання початкового рівняння. Залишилося лише знайти значення 
та 
. 
Рис.1.3.15
Очевидно шукані значення відповідно для
и 
- це корені рівняння 
.Звідси
. При запису відповіді необхідно врахувати, що х = 1 - корінь початкового рівняння при будь-якому а.Відповідь: якщо 
, то х = 1; якщо 
, то х = 1 або
;якщо а = 1, то 
; якщо а = - 1, то
.7. Знайти всі натуральні значення b, при кожному з яких вираз
має зміст для всіх пар чисел (х; у), де 
и 
, для яких вираз 
також має зміст.Розв’язання. Оскільки вирази
та повинні мати зміст одночасно, то нескладно прийти до формулювання, рівносильного початковому: знайти всі натуральні b, при яких система має розв’язок: 
Графіком першої нерівності системи є всі точки координатної площини (х; у), окрім прямої
. Інші нерівності задають область, обмежену віткою гіперболи 
. (На рис.1.3.16 ця область показана штриховою лінією) 
Рис.1.3.16
Система має розв’язки, якщо сім’я гіпербол
має не більше однієї спільної точки з прямою (одна точка відповідає моменту дотику). Для цього достатньо вимагати, щоб рівняння 
мало не більше одного кореня. Оскільки 
, то умова недодатності дискримінанта квадратного рівняння 
дає шукані значення параметра. Маємо 
. І так як b - натуральне, знаходимо b=3, 4,...Відповідь: b=3, 4,...
8. При яких значеннях а множина точок, задана нерівністю
, є підмножиною множини точок, заданої нерівністю 
?Розв’язання. Графіком нерівності
є область, обмежена ромбом (рис.1.3.17). 
Рис.1.3.17
Нерівність
рівносильна системі 
. Очевидно при 
ця система задає необмежену множину точок (рис.1.3.18), яка не може поміститися в середині ромба. Якщо а > 0, то система задає фігуру, зображену на рис.1.3.19.Задача зводиться до пошуку значень а, при яких ця фігура "стиснеться" до таких розмірів, що поміститься в ромб. Із міркувань симетрії для пошуку шуканих значень параметра достатньо вимагати від рівняння
при 
мати не більше одного кореня. Тоді 
. 
Рис.1.3.18 Рис.1.3.19
Відповідь:
.1.4 Дві прямі на площині
В основі ідеї розв’язку задач цього підрозділу лежить питання про дослідження взаємного розташування двох прямих:
та 
. Не будь-яке рівняння виду 
задає пряму: необхідно ще вимагати, щоб 
При дослідженні взаємного розташування двох прямих зручно спочатку розглянути випадки, коли коефіцієнти при у дорівнюють нулю (маємо вертикальне положення прямих), потім кожне з рівнянь представити у вигляді 