Графічні методи розвязування задач із параметрами (стр. 13 из 22)

1. Знайти значення

, при яких система рівнянь

має єдиний розв’язок.

Розв’язання. Графіками рівнянь системи є прямі. Перше рівняння при

задає вертикальну пряму , яка перетинає графік другого рівняння, що рівносильно для системи мати єдиний розв’язок. Друге рівняння при задає вертикальну пряму , яка перетинає графік першого рівняння, що рівносильне для системи мати єдиний розв’язок.

Якщо

та , то , .

Прямі паралельні, якщо

, звідки

Прямі співпадають, якщо

, звідки

Прямі перетинаються, якщо

, звідки .

Відповідь: система має єдиний розв’язок при

.

2. Покажіть, що система рівнянь

має єдиний розв’язок при всіх значеннях

.

Розв’язання. Графіками рівнянь системи є прямі. Перше рівняння при

задає вертикальну пряму , яка перетинає графік другого рівняння, що рівносильне для системи мати єдиний розв’язок. Друге рівняння при задає вертикальну пряму , яка перетинає графік першого рівняння, що рівносильне для системи мати єдиний розв’язок.

Якщо

, то ; якщо , то . Прямі паралельні, якщо , звідки з першого рівняння , розв’язків немає. Отже, співпадати прямі також не можуть.

Відповідь: прямі перетинаються при всіх значеннях

.

3. Знайти всі значення

, при яких система рівнянь немає розв’язків:

Розв’язання. Графіками рівнянь системи є прямі. Перше рівняння при

задає вертикальні прямі , які перетинають графік другого рівняння, що рівносильне для системи мати єдиний розв’язок.

Якщо

, то ; .

Система немає розв’язків, коли прямі паралельні, тобто

Відповідь: система немає розв’язків при

.

4. При яких значеннях

система рівнянь

має нескінчену множину розв’язків?

Розв’язання. Графіками рівнянь системи є прямі. Друге рівняння при

задає вертикальну пряму , яка перетинають графік першого рівняння, що рівносильне для системи мати єдиний розв’язок.

Якщо

, то . З першого рівняння маємо .

Система має нескінчену множину розв’язків, коли прямі співпадають, тобто

Відповідь: система має нескінчену множину розв’язків при

.

5. Знайти всі пари значень

, при кожній з яких система рівнянь

має нескінчену множину розв’язків.

Розв’язання. Перепишемо систему рівнянь у вигляді

Система має нескінчену множину розв’язків, коли прямі співпадають, тобто

Помножуємо друге рівняння на 2 і додаємо до першого рівняння:

. Виражаємо і підставляємо в друге рівняння:

, тоді

Відповідь:

або .

6. При яких значеннях

існують розв’язки системи рівнянь

,

які задовольняють одночасно нерівностям

?

Розв’язання. Знаходимо з першого рівняння

і підставляємо в друге рівняння: , звідки . За умовою задачі , тобто , звідки .

Тоді

. За умовою задачі , тобто , звідки , . Отже, .