1. Знайти значення
, при яких система рівняньмає єдиний розв’язок.
Розв’язання. Графіками рівнянь системи є прямі. Перше рівняння при
задає вертикальну пряму , яка перетинає графік другого рівняння, що рівносильно для системи мати єдиний розв’язок. Друге рівняння при задає вертикальну пряму , яка перетинає графік першого рівняння, що рівносильне для системи мати єдиний розв’язок.Якщо
та , то , .Прямі паралельні, якщо
, звідкиПрямі співпадають, якщо
, звідкиПрямі перетинаються, якщо
, звідки .Відповідь: система має єдиний розв’язок при
.2. Покажіть, що система рівнянь
має єдиний розв’язок при всіх значеннях
.Розв’язання. Графіками рівнянь системи є прямі. Перше рівняння при
задає вертикальну пряму , яка перетинає графік другого рівняння, що рівносильне для системи мати єдиний розв’язок. Друге рівняння при задає вертикальну пряму , яка перетинає графік першого рівняння, що рівносильне для системи мати єдиний розв’язок.Якщо
, то ; якщо , то . Прямі паралельні, якщо , звідки з першого рівняння , розв’язків немає. Отже, співпадати прямі також не можуть.Відповідь: прямі перетинаються при всіх значеннях
.3. Знайти всі значення
, при яких система рівнянь немає розв’язків:Розв’язання. Графіками рівнянь системи є прямі. Перше рівняння при
задає вертикальні прямі , які перетинають графік другого рівняння, що рівносильне для системи мати єдиний розв’язок.Якщо
, то ; .Система немає розв’язків, коли прямі паралельні, тобто
Відповідь: система немає розв’язків при
.4. При яких значеннях
система рівняньмає нескінчену множину розв’язків?
Розв’язання. Графіками рівнянь системи є прямі. Друге рівняння при
задає вертикальну пряму , яка перетинають графік першого рівняння, що рівносильне для системи мати єдиний розв’язок.Якщо
, то . З першого рівняння маємо .Система має нескінчену множину розв’язків, коли прямі співпадають, тобто
Відповідь: система має нескінчену множину розв’язків при
.5. Знайти всі пари значень
, при кожній з яких система рівняньмає нескінчену множину розв’язків.
Розв’язання. Перепишемо систему рівнянь у вигляді
Система має нескінчену множину розв’язків, коли прямі співпадають, тобто
Помножуємо друге рівняння на 2 і додаємо до першого рівняння:
. Виражаємо і підставляємо в друге рівняння: , тодіВідповідь:
або .6. При яких значеннях
існують розв’язки системи рівнянь ,які задовольняють одночасно нерівностям
?Розв’язання. Знаходимо з першого рівняння
і підставляємо в друге рівняння: , звідки . За умовою задачі , тобто , звідки .Тоді
. За умовою задачі , тобто , звідки , . Отже, .