Графічні методи розвязування задач із параметрами (стр. 15 из 22)

Прямі співпадають, якщо

Прямі перетинаються, якщо

Розв’язання першої системи

другої: Розв’язання останньої нерівності и

Відповідь: якщо

та то система має єдиний Розв’язання (зазначимо, що значення враховано); якщо то розв’язків нескінчене багато; якщо то розв’язків немає.

Зауваження. Розглянута система належить класу систем двох лінійних рівнянь с двома змінними х та у, тобто систем виду

де

- деякі числа (параметри).

2. Задані два твердження: а) система

має нескінченно багато розв’язків; б) прямі, задані рівняннями та

перетинаються в другій чверті декартової прямокутної системи координат. При яких значеннях а одне з тверджень істинно, а інше - хибне?

Розв’язання. Графіком першого рівняння системи є невертикальна пряма

. При система очевидно має єдиний Розв’язання (друге рівняння задає вертикальну прямую). Якщо

, то маємо . Звідси система має нескінченно багато розв’язків, якщо

Знаходимо

.

Прямі, задані в твердженні б), зручно записати так:

та . Зрозуміло, що вони будуть перетинатися, якщо , тобто . Розв’язав рівняння , легко знайти координати точки перетину прямих.

Маємо

та .

Прямі перетинаються в другій чверті, якщо

та у > 0. Звідси .

Таким чином, твердження а) істинно, якщо а = 2, твердження б) - якщо

. Тоді вимогам задачі задовольняє наступне: а < 2 або .

Відповідь: а < 2 або

.

3. Знайти всі значення а, при кожному з яких для будь-якого значення b система

має хоча один розв’язок (х, у, z).

Розв’язання. Маємо систему двох рівнянь с трьома змінними. Однак на цю систему можна дивитися, як на лінійну зі змінними х та у і параметрами а, b, z. Тоді Розв’язання проведемо за схемою, викладеною раніше.

Маємо

- невертикальна пряма. Тоді при (друге рівняння системи - вертикальна пряма) система має розв’язок при будь-яких а та z. Якщо , одержимо

Звідси, якщо

, тобто та , система очевидно має Розв’язання при будь-яких а та z. Однак задача вимагає, щоб b було довільним. Тому необхідно дослідити випадки, коли та . Для даних значень b рівняння системи задають або паралельні прямі, або співпадаючі. Нас влаштовує, тільки другий випадок. Для цього необхідно вимагати, щоб . При маємо , при . Залишилося знайти такі а, при яких знайдені рівняння відносно z мають хоча б один Розв’язання, причому одночасно. Оскільки ці рівняння степені не вище другої, то встановлюємо, що

.

Відповідь:

.

4. Знайти всі а, при яких для будь-якого b існують чотири різні значення с, при яких система

має хоча б один Розв’язання.

Розв’язання. При

дана система має єдиний Розв’язання при будь-яких а та с. Оскільки за умовою b - довільне, то розглянемо окремо випадок, коли .

Знаходимо

Ця система має Розв’язання, якщо

. Маємо біквадратне рівняння відносно с. Воно має чотири різні розв’язки, якщо відповідне квадратне рівняння має два різних додатних кореня. Для цього достатньо вимагати, щоб а > 0 та D > 0, де

. Звідси

.

Відповідь:

.

5. При яких а та b система

має Розв’язання?

Розв’язання. Перетворимо нерівність системи до вигляду

. Звідси . Тоді , тобто . Таким чином, початкова система рівносильна такій:

Нерівність системи задає півплощину з межею

(рис.1.4 1).

Рис.1.4 1

Система має розв’язок, якщо пряма

перетинає межу півплощини або, будучи паралельна їй, лежить в півплощині .

Почнемо з випадку b = 0. Тоді рівняння

задає вертикальну пряму, яка перетинає пряму . Однак це твердження справедливе лише при . Значить, при b = 0 та система має розв’язки. Далі, при маємо . В цьому випадку умова перетину прямих досягається при тобто . Якщо , то прямі або співпадають, або паралельні. Додаючи вимогу (пряма перетинає вісь ординат нижче точки (0; - 1)), одержимо ще одне взаємне розташування прямих.