Графічні методи розвязування задач із параметрами (стр. 16 из 22)
Відповідь: 
та
, або 
та 
, або 
та 
.6. При яких значеннях параметра а система нерівностей має Розв’язання?
Розв’язання. Якщо межі півплощин, які задають нерівності системи, перетинаються, то дана система має розв’язки.
Очевидно а = 1 підходе. Якщо
, то рівняння меж півплощин перепишемо в такому виді: 
та 
. Ці прямі перетинаються, якщо 
, тобто 
та 
.Розглянемо випадки а = 3 та а = 4. При а = 3 межі співпадають, і очевидно система розв’язків не має (нерівності системи задають різні півплощини). При
маємо 
Ця система також розв’язків не має (рис.1.4 2).
Рис.1.4 2
Таким чином, а = 4 не підходе.
Відповідь: 
та
. 
Розділ 2. Координатна площина (x; a)
Погляд на параметр як на рівноправну змінну знаходить своє відображення в графічних методах. Оскільки параметр "рівний в правах" зі змінною, то йому, природно, можна "виділити" і свою координатну вісь. Таким чином виникає координатна площина
.Відмова від традиційного вибору букв х та у для позначення осей, визначає один з ефективніших методів розв’язку задач з параметрами.
Для того, щоб найбільш повно розкрити можливості цього метода, покажемо його застосування для розв’язування основних типів задач з параметрами.
Дамо самі загальні признаки, які, можливо, допоможуть впізнавати задачі, які підходять під цей метод: в задачі фігурують лише один параметр а та одна змінна х, вони конструюють деякі аналітичні вирази F 
, G і т.д.; графіки рівнянь F = 0, G = 0 і т.д. в системі координат будуються нескладно.
Сам процес розв’язування схематично виглядає так.
Спочатку будується графічний образ, потім, перетинаючи отриманий графік прямими, перпендикулярними параметричній вісі, "знімаємо" потрібну інформацію.
1. Знайти всі значення параметра
, при яких система нерівностей 
задовольняється лише при одному
.Розв’язання. Перепишемо систему в такому виді:
Всі розв’язки цієї системи утворюють область, показану на рисунку штриховою лінією.
Рис.2.1
Вимога єдності розв’язку даної системи: горизонтальні прямі повинні мати з цією областю тільки одну спільну точку.
Знаходимо точки перетину графіків:
, звідки 
, 
. Тоді 
та 
.Лише прямі
та 
задовольняють вимозі єдності розв’язку системи.Відповідь:
та .2. Знайти всі значення параметра
, при яких система нерівностей 
задовольняється лише при одному
.Розв’язання. Перепишемо систему в такому виді:
.Всі розв’язки цієї системи утворюють область, показану на рисунку штриховою лінією.
Рис.2.2
Вимога єдності розв’язку даної системи: горизонтальні прямі повинні мати з цією областю тільки одну спільну точку.
Знаходимо точки перетину графіків:
, звідки 
.З рисунка видно, що лише прямі
та 
задовольняють вимозі єдності розв’язку системи.Відповідь:
та .3. При яких значеннях
рівняння 
має рівно три кореня?Розв’язання. Маємо
Рис.2.3
Графік цієї сукупності - об’єднання “кута" та параболи.
Лише прямі
та 
перетинають знайдене об’єднання в трьох точках.Відповідь:
та .4. При яких значеннях
рівняння 
має рівно три розв’язки?Розв’язання. Розв’яжемо задане рівняння як квадратне відносно
: 
