Смекни!
smekni.com

Графічні методи розвязування задач із параметрами (стр. 16 из 22)

Відповідь:

та

, або
та
, або
та
.

6. При яких значеннях параметра а система нерівностей має Розв’язання?

Розв’язання. Якщо межі півплощин, які задають нерівності системи, перетинаються, то дана система має розв’язки.

Очевидно а = 1 підходе. Якщо

, то рівняння меж півплощин перепишемо в такому виді:
та
. Ці прямі перетинаються, якщо
, тобто
та
.

Розглянемо випадки а = 3 та а = 4. При а = 3 межі співпадають, і очевидно система розв’язків не має (нерівності системи задають різні півплощини). При

маємо

Ця система також розв’язків не має (рис.1.4 2).


Рис.1.4 2

Таким чином, а = 4 не підходе.

Відповідь:

та

.

Розділ 2. Координатна площина (x; a)

Погляд на параметр як на рівноправну змінну знаходить своє відображення в графічних методах. Оскільки параметр "рівний в правах" зі змінною, то йому, природно, можна "виділити" і свою координатну вісь. Таким чином виникає координатна площина

.

Відмова від традиційного вибору букв х та у для позначення осей, визначає один з ефективніших методів розв’язку задач з параметрами.

Для того, щоб найбільш повно розкрити можливості цього метода, покажемо його застосування для розв’язування основних типів задач з параметрами.

Дамо самі загальні признаки, які, можливо, допоможуть впізнавати задачі, які підходять під цей метод: в задачі фігурують лише один параметр а та одна змінна х, вони конструюють деякі аналітичні вирази F

, G
і т.д.; графіки рівнянь F
= 0, G
= 0
і т.д. в системі координат
будуються нескладно.

Сам процес розв’язування схематично виглядає так.

Спочатку будується графічний образ, потім, перетинаючи отриманий графік прямими, перпендикулярними параметричній вісі, "знімаємо" потрібну інформацію.

1. Знайти всі значення параметра

, при яких система нерівностей

задовольняється лише при одному

.

Розв’язання. Перепишемо систему в такому виді:


Всі розв’язки цієї системи утворюють область, показану на рисунку штриховою лінією.

Рис.2.1

Вимога єдності розв’язку даної системи: горизонтальні прямі повинні мати з цією областю тільки одну спільну точку.

Знаходимо точки перетину графіків:

, звідки
,
. Тоді
та
.

Лише прямі

та
задовольняють вимозі єдності розв’язку системи.

Відповідь:

та
.

2. Знайти всі значення параметра

, при яких система нерівностей

задовольняється лише при одному

.

Розв’язання. Перепишемо систему в такому виді:

.

Всі розв’язки цієї системи утворюють область, показану на рисунку штриховою лінією.

Рис.2.2

Вимога єдності розв’язку даної системи: горизонтальні прямі повинні мати з цією областю тільки одну спільну точку.

Знаходимо точки перетину графіків:

, звідки
.

З рисунка видно, що лише прямі

та
задовольняють вимозі єдності розв’язку системи.

Відповідь:

та
.

3. При яких значеннях

рівняння
має рівно три кореня?

Розв’язання. Маємо

Рис.2.3

Графік цієї сукупності - об’єднання “кута" та параболи.

Лише прямі

та
перетинають знайдене об’єднання в трьох точках.

Відповідь:

та
.

4. При яких значеннях

рівняння
має рівно три розв’язки?

Розв’язання. Розв’яжемо задане рівняння як квадратне відносно

: