Графічні методи розвязування задач із параметрами (стр. 17 из 22)
Графік цієї сукупності - об’єднання двох парабол.
Рис.2.4
Знайдемо точки перетину графіків функцій:
, звідки 
. 
та 
, 
.Лише прямі
та 
перетинають знайдене об’єднання в трьох точках.Відповідь:
та .5. В залежності від параметра
визначити число коренів рівняння 
Розв’язання. Розв’яжемо задане рівняння як квадратне відносно
: 
Графік цієї сукупності - об’єднання двох парабол.
Рис.2.5
Знайдемо координати вершин кожної з парабол:
та 
.Знайдемо також точки перетину графіків функцій:
, звідки 
, тоді 
.Відповідь: якщо
, то розв’язків немає; якщо 
, то 1 розв’язок;якщо
, то 2 розв’язки; якщо 
або 
, то 3 розв’язки;якщо
або 
, то 4 розв’язки.6. Знайти всі дійсні значення
, для кожного з яких рівняння 
має тільки два різних коренів. Записати ці корені.
Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді сукупності:
Розв’язками системи є
, звідки 
, 
, 
. 
та 
Відповідь: якщо
, то 
або 
;якщо
, то або 
.7. Знайти всі числа
, при яких існує єдине число 
, яке задовольняє одночасно наступним умовам: 
та 
.Розв’язання. Перепишемо систему в вигляді:
Рис.2.6
На координатній площині
перше рівняння задає сім’ю вертикальних прямих. Параболи 
та 
розбивають площину на 3 частини. Заштрихована область є розв’язком нерівності системи. Це точки, в яких дотичні будуть горизонтальними: 
або 
.Відповідь:
або .Задачі для самостійної роботи
1. При яких значеннях а рівняння
має два кореня?Розв’язок. Переходимо до рівносильної системи
Ця система на координатній площині 
задає криву, наведену на рис.2.7 неперервною лінією. Всі точки цієї дуги параболи (і тільки вони) мають координати , які задовольняють початковому рівнянню. Тому число розв’язків рівняння при кожному фіксованому значенні параметра а дорівнює кількості точок перетину кривої з горизонтальною прямою, яка відповідає цьому значенню параметра. Очевидно при
прямі перетинають графік в двох точках, що рівносильне для початкового рівняння мати два кореня. 
Рис.2.7
Відповідь:
2. Знайти всі значення а, при яких система має єдиний розв’язок.
Розв’язок. Перепишемо початкову систему в такому вигляді:
Все розв’язки цієї системи (пари виду
) утворюють область, наведену на рис.2.8 штриховою лінією.
Рис.2.8
Вимога єдності розв’язка даної системи така: горизонтальні прямі повинні мати зі знайденою областю тільки одну спільну точку. Лише прямі а = 0 та а = 1 задовольняють висунутій вимозі.
Відповідь: а = 0 або а = 1.
3. При яких значеннях а рівняння
маєрівно три кореня?
Розв’язок. Маємо
Графік цієї сукупності - об’єднання "кута" та параболи (рис.2.9).
Рис.2.9
Лише пряма
перетинає знайдене об’єднання в трьох точках.Відповідь:
4. Скільки розв’язків має система в залежності від значень параметра с?
Розв’язок. Перепишемо систему у вигляді
Кількість коренів другого рівняння системи дорівнює числу розв’язків самої системи. Маємо
. Розглянувши це рівняння як квадратне відносно с, одержимо наступну сукупність. 
На рис.2.10 наведено сукупність рівнянь на координатній площині 
.
