Графічні методи розвязування задач із параметрами (стр. 18 из 22)
Рис.2.10
Координати точок перетину парабол можна знайти, розв’язавши рівняння
. Звідси 
. Для запису відповіді залишилося лише зазначити, що спільна точка цих парабол - вершина параболи 
.Відповідь: якщо
, то розв’язків чотири; якщо 
, торозв’язків два; якщо
, то розв’язок один; якщо 
, то розв’язків немає.5. Знайти всі значення параметра b, при яких рівняння
має один розв’язок.Розв’язок. Задане рівняння рівносильне системі
За допомогою цієї системи будуємо графік початкового рівняння (рис.2.11).
Рис.2.11
Саме наявність "проколов" в цьому графіку дозволяє при
та 
мати рівнянню єдиний розв’язок.Відповідь:
або 6. При яких значеннях параметра а рівняння
має єдиний розв’язок?Розв’язок. Запишемо систему, рівносильну початковому рівнянню:
, Звідси знайдемо 
Перші дві нерівності системи задають множину точок, наведену на рис.2.12 штриховою лінією, причому в цю множину не входять гіперболи ах = 7 та ах = 6.
Рис.2.12
Тоді відрізок АВ та промінь BD, відрізок EF та промінь FK, які лежать відповідно на прямих 
та 
, є графіком початкового рівняння. Далі залишилося лише "зняти" з картинки: 
або
або 
Відповідь: або
або 7. Знайти всі значення параметра а, при яких рівняння
має рівно два різних розв’язки.Розв’язок. Задане рівняння рівносильне сукупності двох систем:
або 
Звідси 
або 
При побудови графіка початкового рівняння важливо врахувати, що параболи
та пряма 
мають дві спільні точки: А (-2; - 2), В (-1; - 1), причому точка В - вершина першої з записаних парабол. Вершина другої параболи 
Графік початкового рівняння наведено на рис.2.13.
Рис.2.13
Звідси знаходимо 
або
. Відповідь: або 
.8. Знайти множину всіх чисел а, для кожного з яких рівняння
має тільки два різних кореня.Розв’язок. Перепишемо задане рівняння в наступному виді:
Тепер важливо не втратите, що 
та 
- корені початкового рівняння лише при умові 
Графік заданого рівняння зручно будувати, відводячи змінній х вісь ординат. На рис.2.14 шуканий графік - об’єднання неперервних ліній. 
Рис.2.14
Відповідь "зчитується" вертикальними прямими: 
або
або 
Відповідь: або
або 9. Знайти всі невід’ємні числа 
при яких існує єдине число 
яке задовольняє системі
Розв’язок. Маємо
де 
Перше рівняння на координатній площині
задає сім’ю вертикальних прямих (рис.2.15). Прямі 
та 
розбивають площину на чотири області. Деякі з них є розв’язками нерівності системи. Для того, щоб встановити які - можна взяти з кожної області по пробній точці. Та область, точка якої задовольняє нерівності, є її розв’язком. Для заданої нерівності розв’язком будуть дві області, обмежені кутами АМВ та DMC. Оскільки за умовою 
то для розв’язку задачі достатньо обмежитися множиною, відміченою штриховою лінією на рис.2.15. 
Рис.2.15
Тоді початковій системі задовольняють всі точки (і тільки вони), які лежать на променях і виділені на графіку жирними лініями.
При фіксованому
число розв’язків початкової системи дорівнює кількості точок перетину горизонтальної прямої з відміченими променями. По рисунку видно, що вимога єдиності розв’язку досягається, якщо 
, де 
та 
- відповідно ординати точок перетину двох пар прямих 
та 
Звідси 
Відповідь: 
10. Для яких а в множині розв’язків нерівності
міститься проміжок 
?Розв’язок. Запишемо сукупність двох систем, рівносильну початковому рівнянню: