Оскільки в розв’язок першої системи ні при яких значеннях параметра а не може входити відрізок
, то необхідні дослідження проведемо для другої системи. МаємоПозначимо
Тоді друга нерівність системи на координатній площині задає множину, наведену на рис.2.16 штриховою лінією.Рис.2.16
Тепер за допомогою рисунка легко встановити, що при
в знайденій множині містяться всі точки, абсциси яких пробігають всі значення з проміжку Тоді ЗвідсиВідповідь:
11. При яких значеннях параметра а система
має розв’язки?
Розв’язок. Маємо
Нерівність системи задає область, обмежену кутами АКБ и CKD (рис.2.17).
.
Рис.2.17
Тоді абсциси виділених дуг гіперболи
- розв’язки початкової системи. Знайдемо абсциси точок розв’язавши рівняння та Звідси для перелічених точок абсциси відповідно дорівнюють Залишилося записати абоВідповідь: або
12. Знайти всі значення а, при яких будь-який розв’язок нерівності
по модулю, не перевищує двох.Розв’язок. Перепишемо задану нерівність в такому виді:
Графіки рівнянь
и розбивають координатну площину на чотири області. "Методом інтервалів" встановлюємо, що розв’язком початкової нерівності будуть заштриховані області (рис.2.18).Рис.2.18
Тепер, якщо при деякому фіксованому значенні
пряма в перетині зі знайденою областю дає лише точки, абсциси яких задовольняють умові то - одне з шуканих значень параметра. Тоді очевидно, що всі а з відрізка АВ складаютьсяВідповідь:
13. При яких значеннях а множина розв’язків нерівності
містить не більше чотирьох цілих значень ?Розв’язок. Раніше встановлено, що задана нерівність рівносильна сукупності двох систем:
абоЗа допомогою цієї сукупності наведено розв’язки початкової нерівності на рис.2.19.
Рис.2.19
Проведемо прямі
де Тоді значення для якого пряма перетинає прямі не більш, ніж в чотирьох точках з відміченої множини, буде шуканим. Проводячи аналіз графіка, приходимо до висновку, що в заданій задачі або абоВідповідь:
або або14. Розв’язати нерівність
.Розв’язок. Наступна сукупність двох систем рівносильна заданій нерівності:
абоДалі, при об’єднанні графічних образів кожної з цих систем необхідно врахувати, що пряма
дотикається параболи в точці (-1;1).На рис.2.20 наведено всі розв’язки початкової нерівності.
Горизонтальні прямі, які перетинають цю множину, перетинають її по відрізку (за виключенням однієї прямої
). Очевидно абсциси всіх точок цього відрізка і будуть розв’язками заданої нерівності.Рис.2.20
Для одержання відповіді залишилося виразити х через а в рівнянні
При маємоВідповідь: при
розв’язків не має; при ; при , розв’язком буде відрізок , де - більший з коренів та .15. Розв’язати нерівність
Розв’язок. Задана нерівність рівносильна сукупності двох систем:
або Звідси абоНа координатній площині перша система задає множину точок першого та четвертого координатних кутів, які одночасно лежать всередині кола з центром (0; 0) і радіуса
та поза колом з центром (1; 0) і радіуса 1. Друга система - множина точок, які одночасно лежать поза першим колом, але знаходяться в другому колі. Тоді всі розв’язки початкової нерівності наведено на рис.2.21.