Смекни!
smekni.com

Графічні методи розвязування задач із параметрами (стр. 2 из 22)

2. Для кожного значення параметра

визначити число розв’язків рівняння
.

Розв’язання. Побудуємо графік функції

. Знайдемо ОДЗ функції
, тобто
.

З рисунка 1.1.2 випливає, що при

- розв’язків немає, при
- 3 розв’язки, при
- 4 розв’язки, при
- 2 розв’язки, при
- немає розв’язків.

Рис.1.1.2

Відповідь: при

- розв’язків немає, при
- 3 розв’язки, при
- 4 розв’язки, при
- 2 розв’язки, при
- немає розв’язків.

3. Знайти число розв’язків рівняння

.

Розв’язання. Побудуємо графік функції

.

Рис.1.1.3

З рисунка 1.1.3 випливає, що при

- розв’язків немає, при
- розв’язки
або
, при
- 4 розв’язки, при
- 3 розв’язки, при
- 2 розв’язки.

Відповідь: при

- розв’язків немає, при
- розв’язки
або
, при
- 4 розв’язки, при
- 3 розв’язки, при
- 2 розв’язки.

4. Розв’язати рівняння

.

Розв’язання. Побудуємо графік функції

. Знайдемо ОДЗ:
, звідси
.

Рис.1.1.4

Розв’язуючи рівняння

, знаходимо
.

Якщо

, то
; якщо
, то
або
.

Якщо

або
, то
, звідси якщо
, то
, якщо
, то розв’язків немає.

5. При яких а рівняння

має рівно три розв’язки?

Розв’язання. Побудуємо графіки функцій

та
.

Рис.1.1.5

Графіки

та
мають три точки перетину при а=-1 та а=-0,5.

Відповідь: а=-1 та а=-0,5.

6. При яких значення параметра а рівняння

має єдиний розв’язок?

Розв’язання. Побудуємо сім’ю функцій

, а точніше графіки

функцій

та
. Знайдемо ОДЗ рівняння:
.

Рис.1.1.6


Графіки функцій

та
мають одну точку перетину при
та
.

Відповідь:

та
.

7. При яких значеннях а рівняння

має два корені?

Розв’язання. Побудуємо графіки функцій

та
. ОДЗ:
, звідки
. Знаходимо дві точки перетину графіків:
, звідси
,
. Тоді для параметра
справедлива нерівність
.

Рис.1.1.7

Відповідь:

.

8. Розв’язати нерівність

.

Розв’язання. Побудуємо графік прямої

та пів парабол
.

Рис.1.1.8

Якщо пів парабола розташована нижче прямої, то нерівність розв’язків немає. Розв’язки з’являються тільки з моменту дотику. Знайдемо значення параметра

, яке відповідає моменту дотику двох функцій:
, звідси
,
, звідси
. При
маємо 1 розв’язок. Тобто, при
нерівність розв’язків немає.

Якщо

, то
.