2. Для кожного значення параметра
визначити число розв’язків рівняння .Розв’язання. Побудуємо графік функції
. Знайдемо ОДЗ функції , тобто .З рисунка 1.1.2 випливає, що при
- розв’язків немає, при - 3 розв’язки, при - 4 розв’язки, при - 2 розв’язки, при - немає розв’язків.Рис.1.1.2
Відповідь: при
- розв’язків немає, при - 3 розв’язки, при - 4 розв’язки, при - 2 розв’язки, при - немає розв’язків.3. Знайти число розв’язків рівняння
.Розв’язання. Побудуємо графік функції
.Рис.1.1.3
З рисунка 1.1.3 випливає, що при
- розв’язків немає, при - розв’язки або , при - 4 розв’язки, при - 3 розв’язки, при - 2 розв’язки.Відповідь: при
- розв’язків немає, при - розв’язки або , при - 4 розв’язки, при - 3 розв’язки, при - 2 розв’язки.4. Розв’язати рівняння
.Розв’язання. Побудуємо графік функції
. Знайдемо ОДЗ: , звідси .Рис.1.1.4
Розв’язуючи рівняння
, знаходимо .Якщо
, то ; якщо , то або .Якщо
або , то , звідси якщо , то , якщо , то розв’язків немає.5. При яких а рівняння
має рівно три розв’язки?Розв’язання. Побудуємо графіки функцій
та .Рис.1.1.5
Графіки
та мають три точки перетину при а=-1 та а=-0,5.Відповідь: а=-1 та а=-0,5.
6. При яких значення параметра а рівняння
має єдиний розв’язок?Розв’язання. Побудуємо сім’ю функцій
, а точніше графікифункцій
та . Знайдемо ОДЗ рівняння: .Рис.1.1.6
Графіки функцій
та мають одну точку перетину при та .Відповідь:
та .7. При яких значеннях а рівняння
має два корені?Розв’язання. Побудуємо графіки функцій
та . ОДЗ: , звідки . Знаходимо дві точки перетину графіків: , звідси , . Тоді для параметра справедлива нерівність .Рис.1.1.7
Відповідь:
.8. Розв’язати нерівність
.Розв’язання. Побудуємо графік прямої
та пів парабол .Рис.1.1.8
Якщо пів парабола розташована нижче прямої, то нерівність розв’язків немає. Розв’язки з’являються тільки з моменту дотику. Знайдемо значення параметра
, яке відповідає моменту дотику двох функцій: , звідси , , звідси . При маємо 1 розв’язок. Тобто, при нерівність розв’язків немає.Якщо
, то .