Графічні методи розвязування задач із параметрами (стр. 3 из 22)

Далі, зсуваючи півпараболу ліворуч, зафіксуємо момент, коли графіки

, мають дві спільні точки. Таке розташування забезпечує вимога: , тоді розв’язком буде відрізок .

Коли півпарабола і пряма перетинаються тільки в одній точці (це відповідає випадку

), то розв’язком буде відрізок .

9. При яких

рівняння має єдиний розв’язок?

Розв’язання. Запишемо задане рівняння в такому виді:

. Права частина рівняння задає нерухомий “кут", ліва частина - “кут", вершина якого рухається по вісі абсцис.

Рис.1.1.9

Задане рівняння буде мати єдиний розв’язок, якщо одна з сторін рухомого “кута" пройде через точку (-1,3). Маємо

, звідки або .

Відповідь:

або .

10. Знайти всі значення параметра

, при яких система рівнянь має розв’язки.

Розв’язання. З першого рівняння системи знаходимо

.

Це рівняння задає сім’ю парабол, які “ковзають" вершинами вздовж прямої

. З другого рівняння знаходимо - коло з центром в точці (1, 0) радіуса 1.

Рис.1.1.10

З’ясуємо, при яких значення параметра сім’я парабол має спільні точки з колом.

Випадок дотику знайдемо з системи

, вимагаючи від системи мати один розв’язок. Одну спільну точку графіки мають при або . Якщо , то система має два розв’язки.

Відповідь:

.

Задачі для самостійної роботи

1. Знайти всі значення параметра b, при яких рівняння

має єдиний Розв’язання.

Розв’язання. Позначимо

. Запишемо рівняння, яке рівносильне початковому: . Переходимо до рівносильної системи

Будуємо графік функції

з областю визначення та (рис.1.1.11).

Рис.1.1.11

Знайдений графік сім’я прямих

повинна перетинати тільки в одній точці. З рисунка видно, що ця вимога виконується лише при а > 2, тобто lg b > 2, b > 100.

Відповідь: b > 100.

2. При яких значеннях параметра

нерівність має розв’язки?

Розв’язання. Графіком функції

є півколо з центром (0; 0) та радіусом 1 (рис.1.1.12). Функція для кожного фіксованого значення параметра задає пряму, тобто рівняння на координатній площині (х; у) породжує систему паралельних прямих.

Рис.1.1.12

Нам необхідно визначити ті значення параметра, при яких знайдуться точки півкола, розташовані вище відповідних точок прямої. Такі точки з’являться після того, як пряма

займе положення зліва від дотичної. Моменту дотику відповідає . Таким чином, при дана нерівність має розв’язки.

Відповідь:

.

3. При яких значеннях параметра а корені рівняння

мають однакові знаки?

Розв’язання. Перша сім’я

задає систему "кутів", сторони яких утворюють кути по 45° с віссю абсцис. Вершини знаходяться на вісі х, причому праворуч від початку координат (а = 0 нас не задовольняє, так як в цьому випадку початкове рівняння має корені різних знаків). Друга сім’я являє собою множину прямих, паралельних вісі абсцис. Ці прямі повинні перетинати "кути" в точках, абсциси яких мають однакові знаки. По рис.1.1.13 легко знайти умову для параметра, яке задовольняє вимогам задачі.

Рис.1.1.13

Маємо

Розв’язавши цю систему, знайдемо

Відповідь.

або .

4. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких рівняння

має три різних кореня.

Розв’язання. Графік функції

для наведено на рис.1.1.14.

Рис.1.1.14

При а = 0 рівняння має єдиний корінь.

З сім’ї паралельних прямих у = х-а нас цікавлять тільки ті, які перетинають побудований графік в трьох точках. Очевидно таких прямих тільки дві. Вони й побудовані на рисунку 1.1.14. Для прямої 1 маємо

, а для прямої 11 маємо . Оскільки , то знаходимо

Відповідь:

або

.

Тепер будемо розглядати сім’ї кривих, які задаються рівняннями

або ,

. Членами цих сімей будуть "півпараболи".

5. Розв’язати нерівність

.

Розв’язання. Побудуємо прямую

(рис.1.1.15). Якщо "пів парабола" розташована нижче прямої, то очевидно нерівність розв’язків не має (рис.15, положення I). Розв’язки з’являються тільки з моменту дотику (положення II).

Рис.1.1.15

Значення параметра, яке відповідає дотику, можна знайти, вимагаючи від системи