мати один Розв’язання, що рівносильне для рівняння
мати один корінь. Звідси знаходимо . Таким чином, при початкова нерівність розв’язків не має.Далі, зсуваючи "півпараболу" ліворуч, зафіксуємо останній момент, коли графіки та
мають дві спільні точки (положення III). Таке розташування забезпечується вимогою .При
відрізок , де та - абсциси точок перетину графіків, буде розв’язком початкової нерівності. Розв’язав наведене вище рівняння, знаходимо , . Таким чином, якщо , то .Коли "півпарабола" та пряма перетинаються тільки в одній точці (це відповідає випадку ), то розв’язком буде відрізок
, де - більший з коренів та (положення IV).Відповідь: при
розв’язків не має; при ; при , розв’язком буде відрізок , де - більший з коренів та .6. Скільки коренів має рівняння
в залежності від значень параметра а?Розв’язання. Зазначимо, що вводячи функції
та , ми одержуємо одразу дві сім’ї кривих. В цьому випадку пошук спільних точок провести важко. Однак задачу можна спростити, використавши заміну . Звідси знаходимо .Розглянемо функції
(рис.1.1.16). Серед них лише одна задає сім’ю кривих.Рис.1.1.16
Очевидно, якщо абсциса вершини "півпараболи" більше одиниці, тобто
, то рівняння коренів не має.Якщо
, то по рисунку видно, що графіки перетинаються, причому тільки в одній точці, оскільки функції та мають різний характер монотонності.Відповідь. Якщо , то рівняння має один корінь; якщо
, то рівняння коренів не має.7. Знайти всі значення параметра а, при яких система рівнянь має розв’язки
Розв’язання. З першого рівняння системи знайдемо
при . Це рівняння задає сім’ю "півпарабол" (параболи "сковзають" вершинами по вісі абсцис, причому ми розглядаємо лише праву вітку).Ліву частину другого рівняння системи розкладемонамножники. Маємо
Тільки графіком другого рівняння є об’єднання двох прямих
и .З’ясуємо, при яких значеннях параметра а сім’я "півпарабол" має хоча б одну спільну точку з однією зі знайдених прямих.
Рис.1.1.17
Скористаємося рис.1.1.17. Якщо вершини "півпарабол" знаходяться праворуч від точки А, але ліворуч від точки В (точка В відповідає положенню вершини в момент дотику "півпараболи" з прямою
), то очевидно графіки спільних точок не мають.Якщо вершина розташована в точці А, то очевидно а = −3. Випадок дотику знайдемо, вимагаючи від системи
мати один Розв’язання, тобто рівняння повинно мати один корінь. Звідси знаходимо а =
.Таким чином, початкова система не має розв’язків, якщо
и відповідно має розв’язки, якщо та . Відповідь. або .8. Знайти найменше с,при якому система має єдиний розв’язок
Розв’язання. Перше рівняння системи зручно представити у вигляді
. Це рівняння задає сім’ю кіл постійного радіуса, рівного 1, причому центри кіл лежать на прямій . Побудуємо графік функції (рис.1.1.18). На цьому ж рисунку показано чотири положення кола, при яких початкова система має єдиний Розв’язання.Кожному з відмічених кіл відповідає деяке значення параметра с. Оскільки умова задачі вимагає, щоб с було найменшим, то з чотирьох кіл треба вибрати те, абсциса центра якого приймає найменше значення. Очевидно це буде коло з центром в точці О .
Рис.1.1.18
Маємо
. З . Звідси . Тоді з . Таким чином, . Оскільки положенню центра О відповідає , то знаходимоВідповідь:
9. При яких а множиною розв’язків нерівності
є відрізок довжиною ?