Графічні методи розвязування задач із параметрами (стр. 7 из 22)
Прямі
переходять друг в друга шляхом перетворення повороту з центром в точці О (0; 0).
Рис.1.2.5
З рисунка видно, що при
та 
рівняння має розв’язки.Відповідь:
та .6. Знайти значення
, при яких рівняння 
має тільки один розв’язок.Розв’язання. Запишемо ОДЗ рівняння:
, 
.Перепишемо рівняння у вигляді:
. Побудуємо графіки функцій 
та 
. Прямі 
переходять друг в друга шляхом перетворення повороту з центром в точці О (0; 0). Розв’язуємо рівняння: 
, 
Точку дотику двох функцій знайдемо з умови:
, тоді 
, 
.Інші значення параметра
знайдемо з ОДЗ: 
, звідки 
. 
Рис.1.2.6
Відповідь:
, .7. При яких значеннях
рівняння 
має єдиний розв’язок?Розв’язання. Знайдемо ОДЗ рівняння:
, 
.Перепишемо рівняння у вигляді
, 
. Побудуємо графіки функцій 
та 
, враховуючи ОДЗ.
Рис.1.2.7
Знайдемо точку дотику двох графіків функцій:
; ; 
, 
, 
.Також з рисунка видно, що рівняння буде мати єдиний розв’язок при
.Відповідь:
або .8. Знайти всі значення параметра
, при яких найменше значення функції 
менше 2.Розв’язання. Переформулюємо задачу: знайти
, при яких нерівність 
має хоча б один розв’язок.Перепишемо нерівність у вигляді:
. Побудуємо графіки функцій 
та 
. На рис.31 наведені графік функції та дві прямі сім’ї .Положенню І відповідає
( 
проходе через точку (-4,0)), а положенню ІІ (момент дотику: 
, 
) відповідає 
. Нерівність буде мати розв’язки, якщо прямі І та ІІ “крутити” відповідно за та проти годинникової стрілки до вертикального положення. 
Рис.1.2.8
Відповідь:
або 
.Задачі для самостійної роботи
1. Знайти всі значення параметра k, при яких система рівнянь має розв’язки
Розв’язання. Прямі сім’ї
переходять друг в друга шляхом перетворення повороту з центром в точці 
.Задана система буде мати Розв’язання, якщо наведені прямі мають з "півпараболою"
хоча б одну спільну точку.На рис.1.2.9 відмічені два положення прямої, яким відповідають деякі значення параметра
и 
.
Рис.1.2.9
На першій прямій лежить вершина. Друга пряма дотикається "півпараболи". Наглядно очевидно, що якщо прямі сім’ї "заметають" утворений кут (параметр k змінюється від k1 до k2), то система має розв’язки.
Значення k1 знайдемо, підставляючи в перше рівняння системи пару (0; 0). Звідси
. Значення k2 одержимо, вимагаючи від системи 
мати єдиний Розв’язання, що рівносильне для рівняння
при k > 0 мати єдиний корінь. Звідси 
. Відповідь: 
.Зауваження. В деяких прикладах цього параграфу ми будемо розв’язувати стандартну задачу: для прямої з сім’ї прямих знаходити її кутовий коефіцієнт, який відповідає моменту дотику з кривою. Покажемо, як це робиться в загальному виді за допомогою похідної.
Якщо
- центр повороту, то координати 
точки дотику з кривою 
можна знайти, розв’язав систему
Кутовий коефіцієнт k дорівнює
.2. Знайти все значення параметра k, при яких система рівнянь
має два різних розв’язки.
Розв’язання. Наступна система рівносильна початковій
На рис.1.2.10 зображено вітку гіперболи 
при х > 0. Всі прямі, які проходять через точку М (6;