Графічні методи розвязування задач із параметрами (стр. 8 из 22)

8), складають сім’ю прямих у = 8 + k (x - 6). МА та MB - дотичні до гіперболи.

Рис.1.2.10

Лише прямі з сім’ї прямих, які проходять між сторонами кутів AMD та ВМС, перетинають гіперболу в двох точках. Можливо здається, що прямі, близькі до вертикального або горизонтального положення, наприклад, МК та МР мають тільки одну спільну точку з гіперболою. Однак це не так: будь-який промінь, який проходить в середині кутів AMD та ВМС і перетинає криву, обов’язково перетне вісь координат, тобто "зіштовхнеться" з гіперболою ще в одній точці.

Кутовий коефіцієнт прямої МА:

, а прямої MB:

. Остаточний результат зручно одержати, обертаючи пряму з сім’ї прямих в середині кута AMD проти годинникової стрілки (додатний напрям), а в куті ВМС - за годинниковою стрілкою (від’ємний напрям). Таким чином,

або

. Відповідь:

або .

3. При яких значеннях а система рівнянь не має розв’язків

Розв’язання. Система

рівносильна початковій.

На рис.1.2.11 точка (3; 0) - центр повороту.

Якщо пряма сім’ї прямих

обертається в середині кута ОМА, то система не має розв’язків.

Рис.1.2.11

Кутовий коефіцієнт прямої МА дорівнює

. Тоді при такому повороті параметр а приймає всі значення з проміжку . (Ми включили , оскільки пряма МО не перетинає гіперболу)

Існує ще одна пряма сім’ї прямих, а саме

, яка проходить через "дірки" в гіперболі. Тому при

система також не має розв’язків.

Відповідь:

або

.

4. При яких значеннях параметра а рівняння

має єдиний Розв’язання?

Розв’язання. Розглянемо функції у = ах та

. Графік другої функції побудуємо, розглянувши рівняння при . Перетворюючи останнє до виду одержимо, що шуканий графік - півколо з центром (4;

1) і радіусом 1.

На рис.1.2.12 це дуга АВ. Всі прямі у = ах, які проходять між променями ОА та 0В перетинають дугу в одній точці. Також одну точку с дугою мають пряма ОВ та дотична ОМ.

Рис.1.2.12

Кутові коефіцієнти прямих 0В та ОА відповідно дорівнюють

та . Кутовий коефіцієнт дотичної ОМ дорівнює . Дійсно, вимагаючи від системи

мати єдиний розв’язок, знаходимо

.

Таким чином, прямі сім’ї у = ах мають з дугою АВ тільки одну спільну точку при

або . Відповідь: або .

5. Визначити, при яких значеннях параметра а мінімум функції

більше 1.

Розв’язання. Перейдемо до рівносильного формулювання задачі: визначити, при яких значеннях а нерівність

виконується для всіх х.

На рис.1.2.13 зображено графік функції

. Всі прямі сім’ї прямих

проходять через точку (0;

1) - центр повороту.

Рис.1.2.13

Якщо ці прямі "заповнюють" кут АМВ (МА - дотична), то кожна точка побудованого графіка знаходиться вище відповідних точок прямих. Справедливе й обернене твердження. Знаходячи найбільше значення параметра а, при якому рівняння

має один Розв’язання, одержимо кутовий коефіцієнт прямої МА. (Менше значення а відповідає моменту дотику прямої з дугою параболи ) Звідси

. Для прямої МВ маємо а = 1.

Відповідь:

.

6. При яких значеннях параметра а система

має три різних розв’язки?

Розв’язання. Розглянувши перше рівняння системи як квадратне відносно y, легко розкласти його ліву частину на множники. Маємо

. Графік цього рівняння - об’єднання двох парабол - наведено на рис.1.2.14.

Рис.1.2.14

Через точку А (4; 0) проходять всі прямі сім’ї прямих

. Виділимо ті з них, які мають з графіком першого рівняння три спільні точки. На рисунку це прямі АВ, AC, AD, АF. Таким чином, шуканих значень параметра чотири. Однак ще дві прямі сім’ї прямих, задовольняють вимогам задачі. Дійсно, з точки А до параболи можна провести дві дотичні (на рисунку показана одна - АВ). Друга дотична не є вертикальною прямою, тому вона обов’язково "наздожене" параболу ще в двох точках. Аналогічний результат дає друга, відмінна від AF, дотична до параболи .

Будемо вимагати від рівнянь

та

мати єдиний корінь. Тоді знайдемо кутові коефіцієнти дотичних відповідно до кривих та . Маємо , . Далі абсциса точки М дорівнює від’ємному кореню рівняння , тобто х = - 1. Тоді кутовий коефіцієнт прямої AD дорівнює , а кутовий коефіцієнт прямої АС дорівнює 0.

Відповідь:

, , , .

7. Скільки різних розв’язків має система рівнянь

в залежності від параметра а?

Розв’язання. Запишемо сукупність систем, рівносильну початковій. Маємо

або