В цій задачі ми будемо мати справу одразу з двома перетвореннями - поворотом та паралельним переносом.
Перша система сукупності має два розв’язки при будь-якому а (рис.1.2.15).
Знайдемо число розв’язків другої системи (рис.1.2.15): при
- немає розв’язків, при - один розв’язок, при - два розв’язки.Додатково з рисунка видно, що при
, або , або а = 0 прямі и перетинаються в точках, які лежать на колі . Зрозуміло, що цей факт змінює число розв’язків для випадку .Рис.1.2.15
Відповідь: якщо
, або а = 0, то розв’язків два; якщо або , то розв’язків три; якщо , або , або , або , то розв’язків чотири.Наступні дві задачі пов’язані з ще одним перетворенням - паралельним переносом.
8. Знайти всі значення а, для яких існує пара від’ємних чисел х та у, які задовольняють умові
Розв’язання. Нерівність х + 2у > а задає півплощину з "пливучою" межею х + 2у = а. Оскільки очевидно, що а < 0, то система нерівностей
задає внутрішню область трикутника ОАВ з координатами вершин О (0; 0), А (0; а), В - рис.1.2.16.Рис.1.2.16
Все прямі сім’ї прямих
проходять через точку М (0;1). Очевидно початкова система має Розв’язання, якщо прямі сім’ї перетинають вісь абсцис в точках, які лежать між А та О. Для прямої
при фіксованому а абсциса точки перетину с віссю х дорівнює . Тоді залишилося вимагати, щоб . Звідси .Відповідь: .
9. При яких значеннях параметра а рівняння
не має розв’язків?Розв’язання. Розглянемо функції та
, які задають: сім’ю "кутів" та сім’ю прямих, які проходять через точку . Оскільки кожен з графіків функцій знаходиться у "русі", то при пошуку їх спільних точок (або умов їх відсутності) виникають ускладнення. Тому спробуємо застосувати такий метод: "зупинимо" один з рухів за допомогою заміни.Нехай
. Тоді і початкове рівняння приймає вигляд . Всі прямі виду проходять черезточку . Оскільки положення точки М не зафіксовано, то поворот не формує сім’ю прямих. Однак сама ідея повороту є результативною.Очевидно ордината точки М завжди від’ємна. За допомогою рис.39 легко побачити, що якщо прямі сім’ї прямих проходять між сторонами кута АМВ , то в цьому і тільки в цьому випадку початкове рівняння має розв’язки.
Рис.1.2.17
Таким чином, кутовий коефіцієнт
прямих задовольняє вимозі . ЗвідсиВідповідь:
1. Знайти число розв’язків системи рівнянь (
)Розв’язання. Побудуємо графіки функцій
(квадрат зі стороною ) та . Члени сім’ї функцій - гомотетичні кола (з центром гомотетії (0,0)).Рис.1.3.1
Якщо коло лежить всередині квадрата, то розв’язків немає.
Якщо коло вписане в квадрат, то з’являються розв’язки. В цьому випадку з теореми Піфагора:
.При
система немає розв’язків, при система має 4 розв’язки. Далі зі збільшенням ( ) кожна сторона квадрата має дві спільні точки перетину з колом (всього 8 розв’язків).При
квадрат вписаний в коло, маємо 4 розв’язки. При розв’язків немає. Відповідь: при розв’язків немає, при - 4 розв’язки, при - 8 розв’язків, при - 4 розв’язки, при розв’язків немає.2. При яких дійсних значеннях
системамає 8 різних розв’язків?
Розв’язнання. Побудуємо графіки функцій
(ромб зі стороною довжиною ) та . Члени сім’ї функцій - гомотетичні кола (з центром гомотетії (0,0)).Рис.1.3.2
Знайдемо значення параметра
, при якому коло дотикається до ромба.З прямокутного трикутника (зі сторонами
та 1) знайдемо , тоді з трикутника АВС , звідки .Зі збільшенням
система буде мати 8 розв’язків (8 точок перетину кола з ромбом). А при система буде мати 4 розв’язки (4 точки перетину з ромбом). Отже, . Відповідь: