Теорема доведена.
Наведемо застосування цієї теореми до розв’язання стереометричних задач.
Задача 2.1 У тетраедрі
точки належать ребрам і відповідно (див. рис. 2.3), причому і . Через точки проведена площина . У якому відношенні ця площина поділяє об’єм тетраедра?
Рис. 2.3 До задачі 2.1
Розв’язок. Нехай площина
перетинає ребро в точці . Чотирикутник – переріз даного тетраедра площиною . Визначимо, у якому відношенні точка поділяє ребро . На підставі співвідношення (2.1) та умови задачі маємо ,звідки
.У багатограннику
проведемо переріз через ребро і вершину . Цей переріз розбиває розглянутий багатогранник на трикутну піраміду і чотирикутну піраміду , яка діагональним перерізом розбивається на дві трикутні піраміди: .Нехай
– площа грані , – довжина висоти тетраедра, проведена з вершини , – об’єм даного тетраедра. Визначимо об’єми трьох отриманих вище трикутних пірамід. Для піраміди :де
– довжина висоти трикутної піраміди , проведена з вершини на площину грані ( ). ТодіНехай далі
– площа грані , – довжина висоти даного тетраедра, проведена з вершини на площину грані . Тодіде
– довжина перпендикуляра, проведеного з вершини на площину грані ( ) іЗнайдемо тепер об’єм багатогранника
:Отже,
.У такий спосіб шукане відношення дорівнює 23:40.
Відповідь: 23:40.
Задача 2.2. Об’єм тетраедра
дорівнює 5. Через середини ребер проведена площина, яка перетинає ребро в точці . При цьому відношення довжини відрізка до довжини відрізка дорівнює . Знайдіть площу перерізу тетраедра зазначеною площиною, якщо відстань до неї від вершини дорівнює 1.Рис. 2.4 До задачі 2.2
Розв’язок.
Нехай
і – середини ребер відповідно і .Чотирикутник
– заданий за умовою переріз. На підставі теореми Менелая , ,звідки
.З'єднаємо точки
і , і , і .Нехай
і довжина висоти тетраедра, проведена з вершини На рисунку не наведено), дорівнює . Згідно з умовою задачі . Висота піраміди , проведена з вершини дорівнює .Знайдемо тепер об’єм піраміди
:Далі нехай
і довжина висоти тетраедра, проведена з вершини на грань дорівнює . Тоді об’єм піраміди дорівнює .