Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 11 из 23)

Теорема доведена.

Наведемо застосування цієї теореми до розв’язання стереометричних задач.

Задача 2.1 У тетраедрі

точки належать ребрам і відповідно (див. рис. 2.3), причому і . Через точки проведена площина . У якому відношенні ця площина поділяє об’єм тетраедра?

Рис. 2.3 До задачі 2.1

Розв’язок. Нехай площина

перетинає ребро в точці . Чотирикутник – переріз даного тетраедра площиною . Визначимо, у якому відношенні точка поділяє ребро . На підставі співвідношення (2.1) та умови задачі маємо

,

звідки

.

У багатограннику

проведемо переріз через ребро і вершину . Цей переріз розбиває розглянутий багатогранник на трикутну піраміду і чотирикутну піраміду , яка діагональним перерізом розбивається на дві трикутні піраміди: .

Нехай

– площа грані , – довжина висоти тетраедра, проведена з вершини , – об’єм даного тетраедра. Визначимо об’єми трьох отриманих вище трикутних пірамід. Для піраміди :

де

– довжина висоти трикутної піраміди , проведена з вершини на площину грані ( ). Тоді

Нехай далі

– площа грані , – довжина висоти даного тетраедра, проведена з вершини на площину грані . Тоді

де

– довжина перпендикуляра, проведеного з вершини на площину грані ( ) і

Знайдемо тепер об’єм багатогранника

:

Отже,

.

У такий спосіб шукане відношення дорівнює 23:40.

Відповідь: 23:40.

Задача 2.2. Об’єм тетраедра

дорівнює 5. Через середини ребер проведена площина, яка перетинає ребро в точці . При цьому відношення довжини відрізка до довжини відрізка дорівнює . Знайдіть площу перерізу тетраедра зазначеною площиною, якщо відстань до неї від вершини дорівнює 1.

Рис. 2.4 До задачі 2.2

Розв’язок.

Нехай

і – середини ребер відповідно і .

Чотирикутник

– заданий за умовою переріз. На підставі теореми Менелая

,

,

звідки

.

З'єднаємо точки

і , і , і .

Нехай

і довжина висоти тетраедра, проведена з вершини На рисунку не наведено), дорівнює . Згідно з умовою задачі . Висота піраміди , проведена з вершини дорівнює .

Знайдемо тепер об’єм піраміди

:

Далі нехай

і довжина висоти тетраедра, проведена з вершини на грань дорівнює . Тоді об’єм піраміди дорівнює

.