Смекни!
smekni.com

Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 12 из 23)

З іншої сторони (враховуючи, що відстань від вершини

до площини перерізу за умовою задачі дорівнює 1), маємо

Отже,

.

Відповідь: 3.

Задача 2.3 В піраміді

проведений переріз
так, що точка
лежить на ребрі
точка
– на ребрі
, точка
– на ребрі
, точка
– на ребрі
. Відомо, що
,
.

Знайти відношення об’ємів частин, на якіплощина

поділяє піраміду.

Рис 2.5 До задачі 2.3

Розв’язок.

З умови задачі безпосередньо випливає, що

(2.3.1)

(2.3.2)

Нехай

,
.

Згідно з теоремою Менелая маємо

Враховуючи (2.3.1) і (2.3.2) й прийняті вище позначення одержуємо

,

звідки

(2.3.3)

Розділивши обидві частини останньої рівності з умови задачі на

, одержуємо

або

(2.3.4)

З (2.3.3) і (2.3.4) складаємо систему

Розв’язуємо цю систему:

і

Розбиваємо багатогранник

на три трикутні піраміди:
,
.

Нехай

– площа трикутника
,
– довжина висоти даної піраміди, проведена з вершини
,
– об’єм даної піраміди,
– довжина висоти піраміди
, проведена з вершини
. Тоді маємо

Нехай

– площа грані
,
– довжина висоти даної піраміди, проведена з вершини
на площину грані
,
– довжина перпендикуляра, опущеного з точки
на площину грані
. Тоді маємо


Знайдемо об’єм багатогранника

:

Отже,

.

Таким чином, шукане відношення дорівнює 17:18.

Відповідь: 17:18.

Задача 2.4 Задана піраміда

, основа якої має форму опуклого чотирикутни-ка
зі взаємно перпендикулярними діагоналями
і
. Основа перпендикуляра, опущеного з вершини
на основу піраміди, збігається з точкою
– перетином діагоналей
і
. Довести, що основи перпендикулярів, опущених із точки
на бічні грані піраміди, лежать на одному колі.

Рис. 2.6 До задачі 2.4

Розв’язок.

Нехай

– перпендикуляр до площини
,
– перпендикуляр до площини
,
– перпендикуляр до площини
. Покажемо, наприклад, що точка
– ортоцентр грані
. В площині грані
проведемо промінь
до перетину з ребром
в точці
. Згідно з умовою,
і
. Тому
.

Згідно з теоремою про три перпендикуляри (

,
– похила,
–її проекція на
) маємо, що
. Аналогічно доводиться, що
. Отже, точка
– ортоцентр грані
.

Аналогічно доводиться, що точки

і
також є ортоцентрами відповідних граней.

З'єднаємо точки

і
. Згідно з теоремою про три перпендикуляри
. З'єднаємо точки
і
. Згідно з теоремою про три перпендикуляри
.