Оскільки з точки
в грані на можна провести тільки один перпендикуляр, то відрізок пройде через точку . Отже, висоти, проведені в гранях і з вершин і на ребро , проходять через точки і відповідно і перетинають ребро в точці .Аналогічно доводиться, що висоти граней
і , проведені з вершин і на ребро , проходять через точки і відповідно і попадають в ту саму точку на ребрі .Розглянемо трикутник
, у якому і (див. рис 2.7)Рис 2.7
Нехай
і . Тоді і .З
: ; ; .З
: ; ; .Аналогічно розглянемо
, нехай (див. рис. 2.8).Рис 2.8
З
; ;З
; ;Точки
і належать відповідно ребрам і тетраедра . Розглянемо добутокЗ того, що розглянутий добуток дорівнює 1, випливає, що точки
і належать однієї площини (назвемо неї ). Побудуємо на , як на діаметрі сферу (на рисунку не наведено). Оскільки , то вершини цих кутів лежать на побудованій сфері. А так як точки і належать також площині , то ці точки лежать на перетині площини зі сферою тобто на колі.Задачі для самостійної роботи
Задача 2.5 В тетраедрі
через середини та ребер та проведена площина, яка перетинає ребра та відповідно в точках та . Площа чотирикутника дорівнює 16, а відношення довжини відрізка до довжини відрізка дорівнює 0,5. Обчислити відстань від вершини до площини , якщо об’єм багатогранника дорівнює 8.Розв’язок.
Знайдемо об’єм
:Знаходимо
, де - площа , - висота проведена з вершини , - об’єм .Знаходимо висоту
:Знаходимо площу
.