Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 13 из 23)

Оскільки з точки

в грані на можна провести тільки один перпендикуляр, то відрізок пройде через точку . Отже, висоти, проведені в гранях і з вершин і на ребро , проходять через точки і відповідно і перетинають ребро в точці .

Аналогічно доводиться, що висоти граней

і , проведені з вершин і на ребро , проходять через точки і відповідно і попадають в ту саму точку на ребрі .

Розглянемо трикутник

, у якому і (див. рис 2.7)

Рис 2.7

Нехай

і . Тоді і .

З

:

; ; .

З

:

; ; .

Аналогічно розглянемо

, нехай (див. рис. 2.8).

Рис 2.8

З

; ;

З

; ;

Точки

і належать відповідно ребрам і тетраедра . Розглянемо добуток

З того, що розглянутий добуток дорівнює 1, випливає, що точки

і належать однієї площини (назвемо неї ). Побудуємо на , як на діаметрі сферу (на рисунку не наведено). Оскільки , то вершини цих кутів лежать на побудованій сфері. А так як точки і належать також площині , то ці точки лежать на перетині площини зі сферою тобто на колі.

Задачі для самостійної роботи

Задача 2.5 В тетраедрі

через середини та ребер та проведена площина, яка перетинає ребра та відповідно в точках та . Площа чотирикутника дорівнює 16, а відношення довжини відрізка до довжини відрізка дорівнює 0,5. Обчислити відстань від вершини до площини , якщо об’єм багатогранника дорівнює 8.

Розв’язок.

Згідно з теоремою Менелая для тетраедра

,

, .

Знайдемо об’єм

:

Знаходимо

, де - площа , - висота проведена з вершини , - об’єм .

Знаходимо висоту

:

Знаходимо площу

.