Смекни!
smekni.com

Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 14 из 23)

,

,

Тоді


Знайдемо об’єм

,

де

- висота, проведена з вершини
до
,
- висота проведена з вершини
до
.

Знаходимо висоту

:

Знаходимо площу

.

,

Тоді

Отже,

Тоді

Залишилось знайти

,

де

.

Знайдемо площу

.

,

Тоді

Отже

Знаходимо відстань від вершини

до площини

Відповідь:

.

Задача 2.6 В тетраедрі

проведено переріз
так, що точка
лежить на ребрі
, точка
– на ребрі
, точка
– на ребрі
, точка
- на ребрі
. Переріз
ділить піраміду на дві частини. Знайти відношення об’ємів цих частин, якщо відомі наступні співвідношення між довжинами відрізків

та
.

Розв’язок.

Нам треба знайти

.

Нехай

, відомо
.

Згідно з теоремою Менелая для тетраедра

,

,
.

З умови задачі маємо

Складаємо систему :

Отже,

.

Розбиваємо багатогранник

на три трикутні піраміди:

.

Знайдемо об’єм піраміди

. Нехай
– площа трикутника
,
– довжина висоти даної піраміди, проведена з вершини
,
– об’єм піраміди
,
–довжина висоти піраміди
.

Тоді

Знайдемо

та
.

,

Знайдемо висоту

:

Отже,

Знайдемо об’єм піраміди

:

Відомо, що

. Знайдемо
.

,