Відомо, що
Отже,
Знайдемо об’єм піраміди
. Нехай - площа грані , – довжина висоти даної піраміди проведена з вершини на площину грані , –довжина перпендикуляра, опущеного з точки на площину грані .Тоді
Знайдемо
та ,Отже,
Об’єм багатогранника
.Отже,
.Остаточно
Відповідь: 37:68.
Задача 2.7 Точки
не належать одній площині. Відрізки і поділені точками та так, що , а відрізки і поділені точками та так, що . Довести, що точки та належать одній площині.Доведення.
Розглянемо добуток
. Підставляємо відомі відношення з умовиЦе і є необхідна й достатня умова належності точок
та одній площині.Доведення.
За умовою задачі
. Згідно з теоремою Менелая для тетраедра , .Задача 2.9 Сфера дотикається сторін
просторового чотирикутника в точках відповідно. Довести, що точки лежать в одній площині.Доведення.
З рівності відрізків дотичних випливає, що
Проведемо площину через точки
. Нехай вона перетинає в точці . Тоді .Знаходимо, що
, але тоді . Отже, точки лежать в одній площині.РОЗДІЛ 3
ТЕОРЕМА ЧЕВИ В ФОРМІ СИНУСІВ
3.1 Теореми Чеви для трикутника, тетраедра, в формі синусів
Джованні Чева (1648-1734) – італійський математик. Народився в Мілані, більшу частину життя провів в Мантує. Теорема Чеви для трикутника була опублікована в роботі “Delineisrectisseinvicemsecantibusstaticaconstructio” (1678). В цій роботі Чева також наводить узагальнення теореми Менелая: якщо сторони просторового чотирикутника перетинаються площиною, то на них утворюються вісім відрізків таких, що добуток чотирьох з них, що не мають спільних кінців, дорівнює добутку чотирьох інших.
За допомогою теореми Чеви розв’язуються задачі про трійки прямих, що проходять через одну точку, а також доводяться теореми про перетин трійок прямих в одній точці.
Теорема Чеви для трикутника. Нехай задан трикутник
і три прямі, що проходять через його вершини. Пряма, що проходить через вершину , перетинає пряму в точці . Пряма, що проходить через вершину , перетинає пряму в точці . Пряма, що проходить через точку перетинає в точці . Ці прямі проходять через одну точку або паралельні тоді і тільки тоді , коли (3.1)Зауваження. Добуток відношень у теоремі Чеви іноді записують так:
Чевіана – це відрізок, який з’єднує вершину трикутника з деякою точкою на протилежній стороні.
Доведення.
Необхідність. Нехай через деяку точку
проходять три прямі як показано на рисунку 3.1. Застосуємо теорему Менелая до трикутника , який перетинає пряма .