Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 15 из 23)

Відомо, що

Отже,

Знайдемо об’єм піраміди

. Нехай - площа грані , – довжина висоти даної піраміди проведена з вершини на площину грані , –довжина перпендикуляра, опущеного з точки на площину грані .

Тоді

Знайдемо

та

,

Отже,

Об’єм багатогранника

.

Отже,

.

Остаточно

Відповідь: 37:68.

Задача 2.7 Точки

не належать одній площині. Відрізки і поділені точками та так, що , а відрізки і поділені точками та так, що . Довести, що точки та належать одній площині.

Доведення.

Розглянемо добуток

. Підставляємо відомі відношення з умови

Це і є необхідна й достатня умова належності точок

та одній площині.

Задача 2.8 Площина, яка проходить через середини

та

ребер

та

тетраедра

, перетинає ребро

в точці

, а ребро

– в точці

. Довести, що

.

Доведення.

За умовою задачі

. Згідно з теоремою Менелая для тетраедра

, .

Задача 2.9 Сфера дотикається сторін

просторового чотирикутника в точках відповідно. Довести, що точки лежать в одній площині.

Доведення.

З рівності відрізків дотичних випливає, що

Проведемо площину через точки

. Нехай вона перетинає в точці . Тоді

.

Знаходимо, що

, але тоді . Отже, точки лежать в одній площині.

РОЗДІЛ 3

ТЕОРЕМИЧЕВИ ДЛЯ ТРИКУТНИКА ТА ТЕТРАЕДРА.

ТЕОРЕМА ЧЕВИ В ФОРМІ СИНУСІВ

3.1 Теореми Чеви для трикутника, тетраедра, в формі синусів

Джованні Чева (1648-1734) – італійський математик. Народився в Мілані, більшу частину життя провів в Мантує. Теорема Чеви для трикутника була опублікована в роботі “Delineisrectisseinvicemsecantibusstaticaconstructio” (1678). В цій роботі Чева також наводить узагальнення теореми Менелая: якщо сторони просторового чотирикутника перетинаються площиною, то на них утворюються вісім відрізків таких, що добуток чотирьох з них, що не мають спільних кінців, дорівнює добутку чотирьох інших.

За допомогою теореми Чеви розв’язуються задачі про трійки прямих, що проходять через одну точку, а також доводяться теореми про перетин трійок прямих в одній точці.

Теорема Чеви для трикутника. Нехай задан трикутник

і три прямі, що проходять через його вершини. Пряма, що проходить через вершину , перетинає пряму в точці . Пряма, що проходить через вершину , перетинає пряму в точці . Пряма, що проходить через точку перетинає в точці . Ці прямі проходять через одну точку або паралельні тоді і тільки тоді , коли

(3.1)

Зауваження. Добуток відношень у теоремі Чеви іноді записують так:

(3.2)

Чевіана – це відрізок, який з’єднує вершину трикутника з деякою точкою на протилежній стороні.

Доведення.

Необхідність. Нехай через деяку точку

проходять три прямі як показано на рисунку 3.1. Застосуємо теорему Менелая до трикутника , який перетинає пряма

.