Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 16 из 23)

Рис. 3.1 До формуліровки теореми Чеви

Аналогічно з трикутника

згідно з теоремою Менелая маємо

.

Розділимо перше співвідношення на друге

Залишилося помітити, що

і

Необхідність доведена для випадку прямих, що перетинаються.

Якщо ж прямі

і паралельні (див. рис. 3.2), то згідно з теоремою Фалеса маємо

,

.

Перемножуючи пропорції, одержимо

тобто

.

Необхідність доведена в повному обсязі.

Рис. 3.2 До доведення теореми Чеви

Достатність. Нехай для точок

і на прямих і виконується співвідношення (3.1), а прямі і перетинаються в точці . Пряма перетинає прямую в деякій точці . По вже доведеному

.

Звідси й зі співвідношення (3.1) випливає

, що означає збіг точок і .

Якщо ж прямі

і паралельні, то з (3.1) випливає, що і пряма буде їм паралельна. Теорема доведена.

Наслідки з теореми Чеви для трикутника.

В одній точці перетинаються

1) медіани трикутника;

2) висоти трикутника;

3) бісектриси трикутника;

4) відрізки, що з’єднують вершини трикутника з точками дотику вписаного кола (точка Жергонна);

5) відрізки, що з’єднують вершини трикутника з точками дотику відповідних вневписаних кіл (точка Нагеля);

(Вневписане коло трикутника – це коло, що дотикається однієї сторони трикутника та продовженн двох інших його сторін. Для кожного трикутника існує точно три вневписаних кола. Центром вневписаного кола, яке дотикається сторони АВ , є точка перетину бісектрис зовнішніх кутів А та В.)

6) відрізки, що з’єднують вершини трикутника з вершинами правильних трикутників, побудованих на його протилежних сторонах у зовнішню сторону (точка Торричеллі).

Доведення.

1) Оскільки

, , , то , отже медіани трикутника перетинаються в одній точці.

2) Розглянемо випадок, коли трикутник

гострокутний.

Маємо

, , , , , .

Звідси випливає

Якщо трикутник

тупокутний, то дві висоти цього трикутника не є чевіанами. У випадку, коли точно один з відрізків є чевіаною, а інші з’єднують вершини з точками продовжень протилежних сторін, при цьому ці відрізки не паралельні, твердження теореми Чеви також виконується. Залишається повторити проведені вище обчислення для тупокутного трикутника.

3) З властивості бісектрис випливають наступні рівності:

, , .

Перемножуючи відповідно ліві та праві частини цих рівностей, одержуємо умову теореми Чеви.

4) З властивостей дотичних, проведених з однієї точки до кола маємо:

, , .

Звідси випливає рівність з теореми Чеви:

.

5)

, де - півпериметр трикутника ,

,

Отже,

.

Це і означає, що прямі

перетинаються в одній точці.

6) Нехай

– сторони трикутника . Нехай – вершини правильних трикутників, побудованих на сторонах відповідно, а – точки перетину відрізків з відповідними сторонами або їх продовженнями. Зазначимо, що

,

при цьому знак “мінус” береться в тому випадку, коли точка

лежить зовні відрізка . Аналогічно розписуються відношення для точок та . Після перемноження маємо .Наслідки доведено.

Іноді теорему Чеви зручно використовувати, вводячи замість відношень відрізків відношення синусів деяких кутів.

Теорема Чеви в формі синусів. Нехай на сторонах

і трикутника взяті точки , . Прямі і проходять через одну точку або паралельні тоді і тільки тоді, коли

. (3.3)

Доведення.

Ми повинні переписати “в синусах” теорему Чеви. Запишемо її у формі (3.2):

.

Доведемо цю теорему для випадку, коли точки

і лежать на сторонах трикутника. Випадки іншого розташування точок вимагають несуттєвих змін міркувань.