Смекни!
smekni.com

Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 16 из 23)

Рис. 3.1 До формуліровки теореми Чеви

Аналогічно з трикутника

згідно з теоремою Менелая маємо

.

Розділимо перше співвідношення на друге


Залишилося помітити, що

і

Необхідність доведена для випадку прямих, що перетинаються.

Якщо ж прямі

і
паралельні (див. рис. 3.2), то згідно з теоремою Фалеса маємо

,

.

Перемножуючи пропорції, одержимо

тобто

.

Необхідність доведена в повному обсязі.


Рис. 3.2 До доведення теореми Чеви

Достатність. Нехай для точок

і
на прямих
і
виконується співвідношення (3.1), а прямі
і
перетинаються в точці
. Пряма
перетинає прямую
в деякій точці
. По вже доведеному

.

Звідси й зі співвідношення (3.1) випливає

, що означає збіг точок
і
.

Якщо ж прямі

і
паралельні, то з (3.1) випливає, що і пряма
буде їм паралельна. Теорема доведена.

Наслідки з теореми Чеви для трикутника.

В одній точці перетинаються

1) медіани трикутника;

2) висоти трикутника;

3) бісектриси трикутника;

4) відрізки, що з’єднують вершини трикутника з точками дотику вписаного кола (точка Жергонна);

5) відрізки, що з’єднують вершини трикутника з точками дотику відповідних вневписаних кіл (точка Нагеля);

(Вневписане коло трикутника – це коло, що дотикається однієї сторони трикутника та продовженн двох інших його сторін. Для кожного трикутника існує точно три вневписаних кола. Центром вневписаного кола, яке дотикається сторони АВ , є точка перетину бісектрис зовнішніх кутів А та В.)

6) відрізки, що з’єднують вершини трикутника з вершинами правильних трикутників, побудованих на його протилежних сторонах у зовнішню сторону (точка Торричеллі).

Доведення.

1) Оскільки

,
,
, то
, отже медіани трикутника перетинаються в одній точці.

2) Розглянемо випадок, коли трикутник

гострокутний.

Маємо

,
,
,
,
,
.

Звідси випливає

Якщо трикутник

тупокутний, то дві висоти цього трикутника не є чевіанами. У випадку, коли точно один з відрізків
є чевіаною, а інші з’єднують вершини з точками продовжень протилежних сторін, при цьому ці відрізки не паралельні, твердження теореми Чеви також виконується. Залишається повторити проведені вище обчислення для тупокутного трикутника.

3) З властивості бісектрис випливають наступні рівності:

,
,
.

Перемножуючи відповідно ліві та праві частини цих рівностей, одержуємо умову теореми Чеви.

4) З властивостей дотичних, проведених з однієї точки до кола маємо:

,
,
.

Звідси випливає рівність з теореми Чеви:

.

5)

, де
- півпериметр трикутника
,

,

Отже,

.

Це і означає, що прямі

перетинаються в одній точці.

6) Нехай

– сторони трикутника
. Нехай
– вершини правильних трикутників, побудованих на сторонах
відповідно, а
– точки перетину відрізків
з відповідними сторонами або їх продовженнями. Зазначимо, що

,

при цьому знак “мінус” береться в тому випадку, коли точка

лежить зовні відрізка
. Аналогічно розписуються відношення для точок
та
. Після перемноження маємо
.Наслідки доведено.

Іноді теорему Чеви зручно використовувати, вводячи замість відношень відрізків відношення синусів деяких кутів.

Теорема Чеви в формі синусів. Нехай на сторонах

і
трикутника
взяті точки
,
. Прямі
і
проходять через одну точку або паралельні тоді і тільки тоді, коли

. (3.3)

Доведення.

Ми повинні переписати “в синусах” теорему Чеви. Запишемо її у формі (3.2):

.

Доведемо цю теорему для випадку, коли точки

і
лежать на сторонах трикутника. Випадки іншого розташування точок вимагають несуттєвих змін міркувань.