Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 17 из 23)

Нехай

.

Інші позначення зрозумілі з рисунка 3.3.

Рис. 3.3 До доведення теорими Чеви у формі синусів

Застосовуючи теорему синусів до трикутників

і , маємо

Або

Аналогічно, застосовуючи теорему синусів до трикутників

і , маємо

,

і до трикутників

і :

.

Перемножуючи записані співвідношення, знаходимо

Отже, умова нашої теореми рівносильна умові звичайної теореми Чеви.

Теорема доведена.

При доведенні теореми ми не застосовували відношень орієнтованих відрізків. В загальному випадку необхідно розглянути не тільки орієнтовані відрізки, але й орієнтовані кути, припускаючи, наприклад, що

і т.п.

Далі наведемо мало відому стереометричну теорему Чеви для довільного тетраедра.

Теорема Чеви для тетраедра. Нехай

– точка всередині тетраедра , – точки перетину площин з ребрами відповідно (див. рис. 3.4). Тоді

(3.4)

І навпаки, якщо для точок

, що лежать на відповідних ребрах, виконується співвідношення (3.4), то площини проходять через одну точку.

Рис. 3.4 До формуліровки теореми Чеви для тетраедра

Доведення необхідності легко одержати, якщо помітити, що точки

(див. рис. 3.4) лежать в одній площині (це площина, що проходить через прямі та , які перетинаються в точці ), і застосувати теорему Менелая.

Обернена теорема доводиться так само, як і обернена теорема Менелая в просторі: необхідно провести площину через точки

і довести, що ця площина перетне ребро в точці .

3.2 Застосування теорем Чеви для розв’язання задач

Задача 3.1.Задано трикутникАВС. Як слід побудувати точку О всередині трикутника, щоб площі трикутниківАОС, ВОС таАОВвідносилися як 7 : 11 : 13.

Розв’язок.

1 спосіб.

РозглянемотрикутникАВСйпобудуємоточку K, яка ділитьсторону AB увідношенні 7 : 11, рахууючи відвершини A, та точку L, яка ділить сторону CA увідношенні 11 : 13, рахууючи відвершини C.

Нехай O – точка перетинувідрізків CK та BL. Покажемо, що O – шукана точка. Зазначимо, що у трикутників ACK та BCK спільна висота, яка опущена з вершини С, тому відношенняїх площиндорівнюєвідношенню основ

S_ACK : S_BCK = AK : BK.

Аналогічно, S_AOK : S_BOK = AK : BK.

Застосовуючи властивість пропорції (

Û ), одержуємо

S_AOС : S_BOС = AK : BK = 7 : 11.

Аналогічно, розглядаючи дві пари трикутників з основами AL та СL, доводимо, що

S_BOС : S_AOВ = CL : AL = 11 : 13.

Отже, S_AOС : S_BOС : S_AOВ = 7 : 11 : 13, що і необхідно було довести.

2 спосіб.

З теореми Чеви випливає, що пряма АO розділить сторону ВС у відношенні 13 : 7, рахууючи від вершини В. Якщо застосовувати теорему Чеви в обернену сторону, то до розв’язку задачі можна було підійти інакше.

Нехай задано відрізок PQ, точка E, яка ділить його у відношенні p : q, де p та q – задані числа, й точка F, яка не належить прямій PQ. Аналогічно з наведеним розв’язком можна довести, що геометричним місцем точок М площини, для яких S_PFM : S_QFM = p : q є пряма EF (за виключенням точок E та F).

Отже, для того, щоб побудуватишукану точку О можна розділити сторони АВ, ВС та СА трикутника АВС відповідно точками K, NтаL так, щоб

AK : BK = 7 : 11; BN : CN = 13 : 7; CL : AL = 11 : 13.

Тоді, згідно з теоремою Чеви

, отже, відрізки AN, BL та CK перетинаються в одній точці, яка й буде шуканою.

Задача 3.2. В трикутник

вписано півколо так, що його діаметр лежить на стороні , а дуга дотикається сторін та відповідно в точках та . Довести, що прямі та перетинаються на висоті трикутника.

Доведення.

З умови задачі випливає, що точки

та лежать на сторонах трикутника . Отже, достатньо довести, що

Центр

півкола з'єднаємо з точками дотику та (див. рисунок). Позначимо через радіус кола, з прямокутних трикутників та знаходимо

.

З прямокутних трикутників

та маємо

.

Зазначимо, що відрізки

та дотичних до кола рівні, отже отримаємо

.

Отже, згідно з теоремою Чеви прямі

та перетинаються в одній точці.

Задача 3.3. Через вершини трикутника

і точку , яка лежить всередині трикутника, проведені прямі, що перетинають сторони відповідно в точках , при цьому .