Смекни!
smekni.com

Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 19 из 23)


,
,
.

Довести, що прямі

також перетинаються в одній точці
(або паралельні). Такі точці
і
називають ізотомічно спряженими відносно трикутника
.

Доведення очевидним чином випливає з теореми Чеви.

Задача 3.9. На сторонах

трикутника
взяті точки
, при цьому прямі
перетинаються в одній точці
. Довести, що прямі

симетричні цим прямим відносно відповідних бісектрис, також перетинаються в одній точці
. Такі точки
і
називають ізогонально спряженими відносно трикутника
.

Доведення.

Можна вважати, що точки

лежать на сторонах трикутника
.

Згідно з теоремою Чеви в формі синусів

Оскільки прямі

симетричні прямим
відносно бісектрис, то
,
і т.д., тому

Отже,

,

тобто прямі

перетинаються в одній точці.

Задачі для самостійної роботи

Задача 3.10. Протилежні сторони опуклого шестикутника попарно паралельні. Довести, що прямі, які з'єднують середини протилежних сторін, перетинаються в одній точці.

Доведення

Нехай діагоналі

і
даного шестикутника
перетинаються в точці
;
і
– середини сторін
і
. Оскільки
- трапеція, відрізок
проходить через точку
. Згідно з теоремою синусів

,
.

Оскільки

і
, то
.

Аналогічні співвідношення можна записати і для відрізків, які з'єднують середини двох інших пар протилежних сторін. Перемножуючи ці співвідношення, одержуємо необхідне.

Задача 3.11. Через точки

і
, що лежать на колі, проведено дотичні, які перетина-ються в точці
. На дузі
взяті точки
і
. Прямі
і
перетинаються в точці
,
і
– у точці
. Довести, що пряма
проходить через точку
.

Доведення.

Згідно з теоремою Чеви у формі синусів

Але

.

Тому

.

З цього випливає, що точки

лежать на одній прямій, оскільки функція
монотонна по
:

Задача 3.12. а) На сторонах

рівнобедреного трикутника
з основою
взяті точки
так, що прямі
перетинаються в одній точці. Довести, що

б) В середині рівнобедреного трикутника

з основою

взяті точки
і
так, що
і
. Довести, що точки
лежать на одній прямій.

Доведення.

а) Згідно з теоремою Чеви

,

а по теоремі синусів

Підставляючи ці чотири рівності в попередню рівність, і враховуючи, що

, одержуємо необхідне.

б) Позначимо точки перетину прямих

і
з основою
через
і
. Потрібно довести, що
. З а) випливає, що
, тобто
.