Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 19 из 23)
, 
, 
.Довести, що прямі
також перетинаються в одній точці 
(або паралельні). Такі точці 
і називають ізотомічно спряженими відносно трикутника 
.Доведення очевидним чином випливає з теореми Чеви.
Задача 3.9. На сторонах
трикутника 
взяті точки 
, при цьому прямі 
перетинаються в одній точці . Довести, що прямі симетричні цим прямим відносно відповідних бісектрис, також перетинаються в одній точці . Такі точки і називають ізогонально спряженими відносно трикутника .Доведення.
Можна вважати, що точки
лежать на сторонах трикутника 
.Згідно з теоремою Чеви в формі синусів
Оскільки прямі
симетричні прямим 
відносно бісектрис, то 
, 
і т.д., тому 
Отже,
,тобто прямі
перетинаються в одній точці.Задачі для самостійної роботи
Задача 3.10. Протилежні сторони опуклого шестикутника попарно паралельні. Довести, що прямі, які з'єднують середини протилежних сторін, перетинаються в одній точці.
Доведення
Нехай діагоналі
і 
даного шестикутника 
перетинаються в точці ; 
і 
– середини сторін 
і 
. Оскільки 
- трапеція, відрізок 
проходить через точку . Згідно з теоремою синусів 
, 
.Оскільки
і 
, то 
.Аналогічні співвідношення можна записати і для відрізків, які з'єднують середини двох інших пар протилежних сторін. Перемножуючи ці співвідношення, одержуємо необхідне.
Задача 3.11. Через точки
і 
, що лежать на колі, проведено дотичні, які перетина-ються в точці 
. На дузі взяті точки 
і 
. Прямі 
і 
перетинаються в точці , і 
– у точці . Довести, що пряма 
проходить через точку .Доведення.
Згідно з теоремою Чеви у формі синусів
Але
.Тому
.З цього випливає, що точки
лежать на одній прямій, оскільки функція 
монотонна по 
: 
Задача 3.12. а) На сторонах
рівнобедреного трикутника з основою взяті точки так, що прямі перетинаються в одній точці. Довести, що 
б) В середині рівнобедреного трикутника з основою
взяті точки 
і 
так, що 
і 
. Довести, що точки 
лежать на одній прямій.Доведення.
а) Згідно з теоремою Чеви
,а по теоремі синусів
Підставляючи ці чотири рівності в попередню рівність, і враховуючи, що
, одержуємо необхідне.б) Позначимо точки перетину прямих
і 
з основою через 
і 
. Потрібно довести, що 
. З а) випливає, що 
, тобто .