Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 2 из 23)

Нехай тепер на прямій

задана ще третя точка – . На рисунку 1.4 показано, якими можуть бути відношення в залежності від положення точки на прямій . Так, якщо лежить на відрізку , то ; якщо точка лежить ліворуч від точки , то ; якщо точка лежить праворуч від точки , то .

Отже, задаючи відношення орієнтованих відрізків

ми однозначно визначаємо положення точки на прямій .

Рис. 1.4

Зауваження. Точки

, для якої , не має на прямій (можна приєднати до прямої нескінчено удалену точку і вважати, що саме для неї ). Слід зазначити, що просте відношення довжин відрізків неоднозначно задає точку на прямій – таких точок, як правило, дві (за виключенням середини відрізка , для якої ).

1.2 Теорема Менелая

Теорема Менелая дійшла до нас в арабському перекладі книги «Сферика» грецького математика та астронома Менелая Олександрійського (І-ІІ століття нашої ери). Теорема Менелая дозволяє в деяких випадках знаходити відношення відрізків, а також доводити належність трьох точок одній прямій.

Теорема Менелая. Нехай задано трикутник

і три точки на прямих і відповідно. Точки лежать на одній прямій тоді і тільки тоді, коли

(1.1)

Зауваження. Іноді добуток відношень в теоремі Менелая записують так:

Тут всі відношення, що перемножуються – це відношення орієнтованих відрізків .

Рис. 1.5

Доведення.

Необхідність. Нехай пряма

перетинає прямі та в точках і відповідно (див. рис. 1.5) і – перпендикуляри, які опущено з точок на пряму . Як було доведено раніше,

.

Перемножаючи записані відношення, маємо

.

Достатність. Проведемо пряму

. Ми повинні довести, що ця пряма перетинає в точці . Насамперед доведемо, що дійсно перетинає . Припустимо, що паралельна (див. рис. 1.6). Але тоді

Звідси та з рівності (1.1) випливає

, що неможливо.

Нехай

– точка перетину прямих та . По вже доведеному

Рис. 1.6

Порівнюючи з умовою, одержуємо, що

.

Оскільки мова йде про відношення орієнтованих відрізків, то

, що потрібно було довести довести. Отже, теорема Менелая повністю доведена.

Зауваження 1. При розв’язанні конкретних обчислювальних задач, якщо відомо, що точки

і лежать на одній прямій, можна не турбуватися про запис відношень орієнтованих відрізків в формулі (1.1), а обмежитися відношеннями їх довжин.

Зауваження 2. Якщо замінити в (1.1) орієнтовані відношення відношеннями довжин, обернена теорема перестає бути вірною, тобто точки

і , для яких виконується (1.1), не повинні лежати на одній прямій.

Наприклад, нехай точки

взяті на сторонах трикутника так, що , і – середина сторони , тоді

,

але точки

не лежать на одній прямій.

1.3 Теореми Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса

Нетривіальними прикладами використання теореми Менелая є доведення наступних теорем Дезарга, Паппа, Паскаля.

Теорема Дезарга є однією з перших та важливіших теорем проективної геометрії. Вона була доведена в першій половині XVIIстоліття французським математиком та інженером Жераром Дезаргом (1591-1661).

Теорема Дезарга. Трикутники

та розташовані на площині так, що прямі мають спільну точку О (див. рис. 1.7). Нехай А – точка перетину пряміх та , В – точка перетину прямих та , С – точка перетинуц прямих та . Тоді точки лежать на одній прямій.