Задача 3.13. У трикутнику
проведені бісектриси . Бісектриси перетинають відрізки та в точках . Довести, що .Доведення.
Нехай відрізки
і перетинають сторону в точках і . ТодіЯкщо
– точка перетину бісектрис трикутника , то ,отже,
.Помітивши, що
, і проводячи аналогічні обчислення для , одержимо .Оскільки
, то .Задача 3.14. На сторонах
трикутника взяті точки , при цьому перетинаються в одній точці. Довести, що .Доведення
Нехай
. ТодіЗгідно з теоремою Чеви
,тобто
.Крім того,
Отже,
.Задача 3.15. На сторонах трикутника
у зовнішню сторону побудовані квадрати. – середини протилежних сторін квадратів, побудованих на відповідно. Довести, що прямі перетинаються в одній точці.Доведення.
Нехай
– точки перетину прямих зі сторонами відповідно.Відношення
дорівнює відношенню висот, які опущено з точок та на сторону , тобто дорівнює відношенню .Далі,
,де
.Аналогічно,
, .Перемножуючи ці рівності, маємо
.Згідно з теоремою Чеви прямі
перетинаються в одній точці.Задача 3.16. Нехай з точки
, яка взята зовні кола, проведені дві дотичні і до кола та дві січні, і нехай та – точки перетину кола з першою січною, а точки та – з другою. Тоді прямі і перетинаються в одній точці.Доведення.
Застосуємо теорему Чеви до трикутника
. Прямі і перетинаються в одній точці, якщо виконується рівність (*)Всі кути, що фігурують в останньому співвідношенні, – вписані в задане коло; синуси цих кутів пропорційні довжинам хорд, що стягаються ними (наприклад,
, де – радіус кола).Тому рівність (*) еквівалентна такій рівності: (**)Покажемо, що (**) насправді виконується. З подоби трикутників
й одержуємо . З подоби трикутників і маємо , і нарешті, з подоби трикутників і знаходимо .Перемножуючи останні три рівності, маємо (*)
.Задача 3.17. Трикутник
вписано в трикутник : вершини лежать на сторонах відповідно. Довести, що якщо прямі, які проведені через вершини трикутника перпендикулярно до відповідних сторін трикутника , перетинаються в одній точці, то прямі, які проведені через вершини трикутника перпендикулярно до відповідних сторін трикутника перетинаються в одній точці.Доведення.
Нехай прямі, які проходять через вершини трикутника
перпендикулярно до відповідних сторін трикутника , перетинаються в точці .