Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 20 из 23)

Задача 3.13. У трикутнику

проведені бісектриси . Бісектриси перетинають відрізки та в точках . Довести, що .

Доведення.

Нехай відрізки

і перетинають сторону в точках і . Тоді

Якщо

– точка перетину бісектрис трикутника , то

,

отже,

.

Помітивши, що

, і проводячи аналогічні обчислення для , одержимо .

Оскільки

, то .

Задача 3.14. На сторонах

трикутника взяті точки , при цьому перетинаються в одній точці. Довести, що .

Доведення

Нехай

. Тоді

Згідно з теоремою Чеви

,

тобто

.

Крім того,

Отже,

.

Задача 3.15. На сторонах трикутника

у зовнішню сторону побудовані квадрати. – середини протилежних сторін квадратів, побудованих на відповідно. Довести, що прямі перетинаються в одній точці.

Доведення.

Нехай

– точки перетину прямих зі сторонами відповідно.

Відношення

дорівнює відношенню висот, які опущено з точок та на сторону , тобто дорівнює відношенню .

Далі,

,

де

.

Аналогічно,

, .

Перемножуючи ці рівності, маємо

.

Згідно з теоремою Чеви прямі

перетинаються в одній точці.

Задача 3.16. Нехай з точки

, яка взята зовні кола, проведені дві дотичні і до кола та дві січні, і нехай та – точки перетину кола з першою січною, а точки та – з другою. Тоді прямі і перетинаються в одній точці.

Доведення.

Застосуємо теорему Чеви до трикутника

. Прямі і перетинаються в одній точці, якщо виконується рівність

(*)

Всі кути, що фігурують в останньому співвідношенні, – вписані в задане коло; синуси цих кутів пропорційні довжинам хорд, що стягаються ними (наприклад,

, де – радіус кола).Тому рівність (*) еквівалентна такій рівності:

(**)

Покажемо, що (**) насправді виконується. З подоби трикутників

й одержуємо . З подоби трикутників і маємо , і нарешті, з подоби трикутників і знаходимо .

Перемножуючи останні три рівності, маємо (*)

.

Задача 3.17. Трикутник

вписано в трикутник : вершини лежать на сторонах відповідно. Довести, що якщо прямі, які проведені через вершини трикутника перпендикулярно до відповідних сторін трикутника , перетинаються в одній точці, то прямі, які проведені через вершини трикутника перпендикулярно до відповідних сторін трикутника перетинаються в одній точці.

Доведення.

Нехай прямі, які проходять через вершини трикутника

перпендикулярно до відповідних сторін трикутника , перетинаються в точці .