Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 22 из 23)

Рис. 4.2

Визначимо для трикутників

і величину :

(4.1)

Нехай далі

– трійка векторів , які коллінеарні векторам (сторонам трикутника ) – трійка векторів , які коллінеарні векторам і . Визначимо для і величину

(4.2)

Лема.

(4.3)

Доведення. Спочатку перевіримо, що

та одного знака. Легко переконатися, що зміна напрямку одного з векторів , не змінить величини , тому можна обрати напрямок кожного з них певним чином; наприклад, можна вважати вектори , такими, що збігаються за напрямком з векторами , , і (див. рис. 4.2) .

У цьому випадку кожний з трьох дробів, що входять у вираз

має той самий знак, що і відповідний дріб, який входить у вираз .

Наприклад, дроби

і

будуть додатними, якщо точка

розташована між точками і , і від’ємними супротивному випадку (див. рис. 4.2, 4.3).

Рис. 4.3

Залишилось довести, що

. Маємо

Перемножуючи ці три рівності, одержимо, що

. Лема доведена.

Далі буде необхідна рівність, що безпосередньо випливає з означення

:

. (4.4)

Сформулюємо тепер теореми Чеви та Менелая.

Теорема Чеви. Для того, щоб прямі

і перетиналися в одній точці, необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність

(4.5)

або еквівалентна рівність

(4.5^/)

Теорема Менелая. Для того, щоб точки

лежали на одній прямій, необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність

(4.6)

або еквівалентна рівність

(4.6^/)

Доведення теореми Чеви.

Необхідність. Нехай прямі

, перетинаються в одній точці. Доведемо, що виконуються умови (4.5) і (4.5^/).

Якщо прямі

і перетинаються в одній точці, то або всі три точки і лежать на сторонах трикутника , або одна з точок лежить на стороні трикутника, а дві інші – на продовженнях відповідних сторін.

У першому випадку всі дроби, що входять у вираз

, додатні, а в другому випадку один із трьох дробів, що входить у вираз , додатний, а два інші – від’ємні, так що знову вираз (а отже, і – див. лему) більше нуля.

Доведемо, що

(оскільки >0, то з цього буде випливати, що дорівнює одиниці).

Позначимо точку перетину прямих

і через (рис. 4.4а).

а)

б)

Рис. 4.4

Застосовуючи теорему синусів, одержимо

,

Перемножуючи ці рівності, знаходимо

, тим самим необхідність доведена.

Достатність. Доведення достатності проведемо методом від супротивного.

Припустимо, що

, але прямі , і не проходять через одну крапку (див. рис. 4.4б).

Позначимо точку перетину прямих

і через , а через – точку перетину прямих і . Оскільки прямі , і перетинаються в одній точці, то