Смекни!
smekni.com

Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 22 из 23)

Рис. 4.2

Визначимо для трикутників

і
величину
:

(4.1)

Нехай далі

– трійка векторів
, які коллінеарні векторам
(сторонам трикутника
)
– трійка векторів
, які коллінеарні векторам
і
. Визначимо для
і
величину

(4.2)

Лема.

(4.3)

Доведення. Спочатку перевіримо, що

та
одного знака. Легко переконатися, що зміна напрямку одного з векторів
,
не змінить величини
, тому можна обрати напрямок кожного з них певним чином; наприклад, можна вважати вектори
,
такими, що збігаються за напрямком з векторами ,
,
і
(див. рис. 4.2) .

У цьому випадку кожний з трьох дробів, що входять у вираз

має той самий знак, що і відповідний дріб, який входить у вираз
.

Наприклад, дроби

і

будуть додатними, якщо точка

розташована між точками
і
, і від’ємними супротивному випадку (див. рис. 4.2, 4.3).

Рис. 4.3

Залишилось довести, що

. Маємо

Перемножуючи ці три рівності, одержимо, що

. Лема доведена.

Далі буде необхідна рівність, що безпосередньо випливає з означення

:

. (4.4)

Сформулюємо тепер теореми Чеви та Менелая.

Теорема Чеви. Для того, щоб прямі

і
перетиналися в одній точці, необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність

(4.5)

або еквівалентна рівність

(4.5/)

Теорема Менелая. Для того, щоб точки

лежали на одній прямій, необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність

(4.6)

або еквівалентна рівність

(4.6/)

Доведення теореми Чеви.

Необхідність. Нехай прямі

,
перетинаються в одній точці. Доведемо, що виконуються умови (4.5) і (4.5/).

Якщо прямі

і
перетинаються в одній точці, то або всі три точки
і
лежать на сторонах трикутника
, або одна з точок лежить на стороні трикутника, а дві інші – на продовженнях відповідних сторін.

У першому випадку всі дроби, що входять у вираз

, додатні, а в другому випадку один із трьох дробів, що входить у вираз
, додатний, а два інші – від’ємні, так що знову вираз
(а отже, і
– див. лему) більше нуля.

Доведемо, що

(оскільки
>0, то з цього буде випливати, що
дорівнює одиниці).

Позначимо точку перетину прямих

і
через
(рис. 4.4а).

а)

б)

Рис. 4.4


Застосовуючи теорему синусів, одержимо

,

Перемножуючи ці рівності, знаходимо

, тим самим необхідність доведена.

Достатність. Доведення достатності проведемо методом від супротивного.

Припустимо, що

, але прямі
,
і
не проходять через одну крапку (див. рис. 4.4б).

Позначимо точку перетину прямих

і
через
, а через
– точку перетину прямих
і
. Оскільки прямі
,
і
перетинаються в одній точці, то