Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 6 из 23)

Розв’язок.

За умовою

.

.

Запишемо теорему Менелая для трикутника

і прямої :

,

,

.

Відповідь: 11 : 3.

Задача 1.7 На сторонах

і трикутника дано відповідно точки і такі , що .У якому відношенні точка перетину відрізків і ділить кожен з цих відрізків ?

Розв’язок.

Запишемо теорему Менелая для трикутника

і прямої :

.

,

Запишемо теорему Менелая для трикутника

і прямої :

,

,

Відповідь:

, .

Задача 1.8 Ортоцентр

трикутника (ортоцентр – точка перетину висот) ділить висоту навпіл. Довести , що , де – кути трикутника.

Доведення.

Нехай - даний трикутник, - його ортоцентр, .

Запишемо теорему Менелая для трикутника

і прямої :

Виходячи з умови

.

З

.

З

.

З

.

Підставимо знайдені залежності в теорему Менелая:

,

,

,

що і треба було довести.

Задача 1.9 З вершини

прямого кута трикутника проведено висоту , а в трикутнику проведено бісектрису . Пряма, що проходить через точку паралельно , перетинає у точці . Довести, що пряма ділить відрізок навпіл.

Розв’язок.

Нехай

, тоді , .

( - бісектриса).

.

Тому

- рівнобедрений, .

Запишемо теорему Менелая для трикутника

і прямої :

Трикутники

і подібні,

.

Тоді

(1.9.1)

З подібності трикутників

і запишемо:

(1.9.2)

З трикутника

за властивістю бісектриси:

(1.9.3)

Порівнюючи співвідношення (1.9.1), (1.9.2), (1.9.3) маємо:

Підставимо знайдений результат у теорему Менелая :

,

Тобто

, що і треба було довести.

Задачі для самостійної роботи

Задача 1.10 Нехай

– медіана трикутника . На взята точка так, що . В якому співвідношенні пряма ділить площу трикутника ?

Розв’язок.

Відношення площ трикутників

та дорівнює відношенню відрізків та Застосовуючи теорему Менелая до трикутника ACD та прямої BP, маємо