Задача 1.14 Дан паралелограм
. Точка поділяє відрізок в відношені , а точка поділяє відрізок в відношенні . Прямі та перетинаються в точці . Обчислити відношення .Розв’язок.
Застосуємо теорему Менелая до трикутника
та прямої : (*)Оскільки
, тоТак як
.Підставляємо
в (*): .Відповідь:
.Задача 1.15 Коло
дотикається кола та кола в точках і . Довести, що пряма проходить через точку перетину загальних зовнішніх або загальних внутрішніх дотичних до кіл та .Доведення.
Нехай
– центри кіл ; - точка перетину прямих і . Застосовуючи теорему Менелая до трикутника і точок , знаходимо ,отже,
,де
– радіуси кіл і відповідно. Отже, – точка перетину загальних зовнішніх або загальних внутрішніх дотичних до кіл і .Задача 1.16 а) Серединний перпендикуляр до бісектриси
трикутника перетинає пряму в точці . Довести, що .б) Довести, що точки перетину серединних перпендикулярів до бісектрис трикутників і продовжень відповідних сторін лежать на одній прямій.
Доведення.
а) Нехай для визначеності
.Тоді
, звідки .Так як
то .б) В задачі а) точка
лежить на продовженні сторони , так як .Тому, використовуючи результат задачі а) і теорему Менелая, одержуємо необхідне.
Задача 1.17 На сторонах
чотирикутника (або на їхніх продовженнях) взяті точки . Прямі і перетинаються в точці , прямі і - в точці . Довести, що точка перетину прямих і лежить на прямій .Доведення.
Нехай
- точка перетинання прямих і , - точка перетинання прямих і . Застосовуючи теорем Дезарга до трикутників і , одержуємо, що точки лежать на одній прямій. Виходить, .Доведення.