Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 8 из 23)

Задача 1.14 Дан паралелограм

. Точка поділяє відрізок в відношені , а точка поділяє відрізок в відношенні . Прямі та перетинаються в точці . Обчислити відношення .

Розв’язок.

Застосуємо теорему Менелая до трикутника

та прямої :

(*)

Оскільки

, то

Так як

.

Підставляємо

в (*): .

Відповідь:

.

Задача 1.15 Коло

дотикається кола та кола в точках і . Довести, що пряма проходить через точку перетину загальних зовнішніх або загальних внутрішніх дотичних до кіл та .

Доведення.

Нехай

– центри кіл ; - точка перетину прямих і . Застосовуючи теорему Менелая до трикутника і точок , знаходимо ,

отже,

,

де

– радіуси кіл і відповідно. Отже, – точка перетину загальних зовнішніх або загальних внутрішніх дотичних до кіл і .

Задача 1.16 а) Серединний перпендикуляр до бісектриси

трикутника перетинає пряму в точці . Довести, що .

б) Довести, що точки перетину серединних перпендикулярів до бісектрис трикутників і продовжень відповідних сторін лежать на одній прямій.

Доведення.

а) Нехай для визначеності

.

Тоді

, звідки .

Так як

то

.

б) В задачі а) точка

лежить на продовженні сторони , так як

.

Тому, використовуючи результат задачі а) і теорему Менелая, одержуємо необхідне.

Задача 1.17 На сторонах

чотирикутника (або на їхніх продовженнях) взяті точки . Прямі і перетинаються в точці , прямі і - в точці . Довести, що точка перетину прямих і лежить на прямій .

Доведення.

Нехай

- точка перетинання прямих і , - точка перетинання прямих і . Застосовуючи теорем Дезарга до трикутників і , одержуємо, що точки лежать на одній прямій. Виходить, .

Задача 1.18 Задан чотирикутник

. Продовження його сторін

та

перетинаються в точці

, продовження сторін

та

перетинаються в точці

. Довести, що середини відрізків

лежать на одній прямій.

Доведення.