Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 9 из 23)

Нехай

– середини відрізків , а точки – середини . Точка лежить на прямій , точка – на прямій , точка – на прямій . Достатньо довести, що

.

Але

,

а останній добуток дорівнює 1 згідно з теоремою Менелая для трикутника

та прямої .

Задача 1.19 Пряма Сімсона. Нехай

– точка кола, описаного навколо трикутника , а точки – основи перпендикулярів, опущених з точки на прямі . Довести, що точки лежать на одній прямій.

Доведення.

Нехай

– відстані від точки , яка взята на дузі описаного кола, до вершин відповідно, а – проекції точки на прямі . Нехай також , , . Тоді орієнтовані відрізки з точністю до знаку такі:

, , , ,

, .

Записуючи їх відношення, приписуючи ним потрібні знаки, та перемножуючи, одержимо рівність

.

Звідси й випливає, що точки

лежать на одній прямій.

Задача 1.20 На сторонах

та трикутника взято точки та такі, що . Відрізки та перетинаються в точці . Знайти відношення відрізків .

Розв’язок.

Застосуємо теорему Менелая до трикутника

та січної . Одержимо

,

оскільки

, а , то .

Відповідь:

.

Задача 1.21 Довести, що пряма, яка проходить через середини основ трапеції, проходить через точку перетину її діагоналей та точку перетину прямих, які містять бокові сторони (див. рис. а).

Доведення.

1 спосіб.

Нехай

- точка перетину прямих, що містять бокові сторони і трапеції , - середина основи , – точка перетину прямої з основою (див. рис. б). Доведемо, що – середина відрізку , тобто точка лежить на прямій, яка проходить через середини основ трапеції.

Оскільки трикутник

подібний до трикутника за першою ознакою подібності трикутників ( – спільний, ), то відношення

. Аналогічно, трикутник подібний до трикутника , тому . З цих рівностей одержуємо, що . Так як , то , тобто – середина основи .

Позначимо через

точку перетину діагоналей і , а через – точку перетину прямих і (див. рис. в). Аналогічно до попереднього, використовуючи подібність: трикутник подібний до трикутника і трикутник подібний до трикутника , доводиться, що – середина основи . Тобто точка лежить на прямій, що проходить через середини основ трапеції.